Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wsuclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wsuclem 32076
 Description: Lemma for the supremum properties of well-founded successor. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wsuclem.1 (𝜑𝑅 We 𝐴)
wsuclem.2 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
wsuclem.3 (𝜑𝑋𝑉)
wsuclem.4 (𝜑 → ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤)
Assertion
Ref Expression
wsuclem (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wsuclem
StepHypRef Expression
1 wsuclem.1 . . 3 (𝜑𝑅 We 𝐴)
2 wsuclem.2 . . 3 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
3 predss 5848 . . . 4 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
5 wsuclem.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
6 dfpred3g 5852 . . . . 5 (𝑋𝑉 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋})
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋})
85elexd 3354 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
9 wsuclem.4 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤)
10 rabn0 4101 . . . . . . 7 ({𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑋)
11 brcnvg 5458 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝐴𝑋 ∈ V) → (𝑤𝑅𝑋𝑋𝑅𝑤))
1211ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤𝐴) → (𝑤𝑅𝑋𝑋𝑅𝑤))
1312rexbidva 3187 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑋 ↔ ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤))
1410, 13syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → ({𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤))
1514biimpar 503 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ ∃𝑤𝐴 𝑋𝑅𝑤) → {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅)
168, 9, 15syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝐴𝑤𝑅𝑋} ≠ ∅)
177, 16eqnetrd 2999 . . 3 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ≠ ∅)
18 tz6.26 5872 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)
191, 2, 4, 17, 18syl22anc 1478 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)
20 dfpred3g 5852 . . . . 5 (𝑋𝑉 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋})
215, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋})
2221rexeqdv 3284 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋}Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅))
23 breq1 4807 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑋𝑥𝑅𝑋))
2423rexrab 3511 . . . 4 (∃𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋}Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝑥𝑅𝑋 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅))
25 noel 4062 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑦 ∈ ∅
26 simp2r 1243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)
2726eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) ↔ 𝑦 ∈ ∅))
2825, 27mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥))
29 vex 3343 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑥 ∈ V)
31 simp3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
32 elpredg 5855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) ↔ 𝑦𝑅𝑥))
3330, 31, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) ↔ 𝑦𝑅𝑥))
3428, 33mtbid 313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)
35343expa 1112 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)) ∧ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3635ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅)) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥)
3736expr 644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥))
38 simp1rl 1305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝐴)
39 simp1rr 1306 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝑅𝑋)
405adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) → 𝑋𝑉)
41403ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑋𝑉)
4229elpred 5854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑉 → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)))
4438, 39, 43mpbir2and 995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
45 simp3 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝑅𝑦)
46 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
4746rspcev 3449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)
4844, 45, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)
49483expia 1115 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))
5049ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑋)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))
5150expr 644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥𝑅𝑋 → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)))
5237, 51anim12d 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ ∧ 𝑥𝑅𝑋) → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5352ancomsd 469 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝑅𝑋 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5453reximdva 3155 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 (𝑥𝑅𝑋 ∧ Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5524, 54syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑋}Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5622, 55sylbid 230 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦))))
5719, 56mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋) ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)𝑧𝑅𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804   Se wse 5223   We wwe 5224  ◡ccnv 5265  Predcpred 5840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-br 4805  df-opab 4865  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-cnv 5274  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841 This theorem is referenced by:  wsuccl  32078  wsuclb  32079
 Copyright terms: Public domain W3C validator