MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunress 15709
Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wunress.1 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
wunress.2 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
wunress.3 (𝜑𝑊𝑈)
Assertion
Ref Expression
wunress (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunress
StepHypRef Expression
1 wunress.3 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
2 eqid 2605 . . . . . 6 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
3 eqid 2605 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3ressval 15696 . . . . 5 ((𝑊𝑈𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
51, 4sylan 486 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) = if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
6 wunress.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
7 df-base 15642 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
8 wunress.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
96, 8wunndx 15653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ndx ∈ 𝑈)
107, 6, 9wunstr 15656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ 𝑈)
11 incom 3762 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
127, 6, 1wunstr 15656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ 𝑈)
136, 12wunin 9387 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) ∈ 𝑈)
1411, 13syl5eqel 2687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ 𝑈)
156, 10, 14wunop 9396 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩ ∈ 𝑈)
166, 1, 15wunsets 15670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ 𝑈)
171, 16ifcld 4076 . . . . 5 (𝜑 → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
1817adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ V) → if((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴, 𝑊, (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)) ∈ 𝑈)
195, 18eqeltrd 2683 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ V) → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
2019ex 448 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
216wun0 9392 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑈)
22 reldmress 15695 . . . . 5 Rel dom ↾s
2322ovprc2 6557 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
2423eleq1d 2667 . . 3 𝐴 ∈ V → ((𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2521, 24syl5ibrcom 235 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈))
2620, 25pm2.61d 168 1 (𝜑 → (𝑊s 𝐴) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  cin 3534  wss 3535  c0 3869  ifcif 4031  cop 4126  cfv 5786  (class class class)co 6523  ωcom 6930  WUnicwun 9374  1c1 9789  ndxcnx 15634   sSet csts 15635  Basecbs 15637  s cress 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-ec 7604  df-qs 7608  df-map 7719  df-pm 7720  df-wun 9376  df-ni 9546  df-pli 9547  df-mi 9548  df-lti 9549  df-plpq 9582  df-mpq 9583  df-ltpq 9584  df-enq 9585  df-nq 9586  df-erq 9587  df-plq 9588  df-mq 9589  df-1nq 9590  df-rq 9591  df-ltnq 9592  df-np 9655  df-plp 9657  df-ltp 9659  df-enr 9729  df-nr 9730  df-c 9794  df-nn 10864  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator