Theorem wunstr 16510

Description: Closure of a structure index in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
wunstr.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
wunstr.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
wunstr	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem wunstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunstr.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
2		wunstr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑈)
3	1, 2	wunrn 10154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ∈ 𝑈)
4	1, 3	wununi 10131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 ∈ 𝑈)
5		ndxarg.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5	strfvss 16509	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ⊆ ∪ ran 𝑆)
8	1, 4, 7	wunss 10137	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4841  ran crn 5559  ‘cfv 6358  WUnicwun 10125  Slot cslot 16485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-wun 10127  df-slot 16490

This theorem is referenced by:  wunress  16567  1strwun  16604  wunfunc  17172  wunnat  17229  catcoppccl  17371  catcfuccl  17372  estrcbasbas  17384  catcxpccl  17460  ringcbasbas  44312  ringcbasbasALTV  44336