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Theorem wwlkm1edg 26025
Description: Removing the trailing edge from a walk (as word) with at least one edge results in a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkm1edg ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))

Proof of Theorem wwlkm1edg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlkprop 25975 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
2 iswwlk 25973 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
3 lencl 13121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
4 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 1red 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ∈ ℝ)
6 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ∈ ℝ)
8 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
10 1le2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ≤ 2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ 2)
12 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
135, 7, 9, 11, 12letrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 1 ≤ (#‘𝑊))
144, 13jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
15 elnnnn0c 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑊)))
1614, 15sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
17 lbfzo0 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (#‘𝑊) ∈ ℕ)
1816, 17sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
19 nn0ge2m1nn 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
20 lbfzo0 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
2119, 20sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
2218, 21jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
233, 22sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
24 inelcm 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅)
26 wrdfn 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
28 fnresdisj 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
30 nn0ge2m1nn0 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
319lem1d 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
3230, 4, 313jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
333, 32sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
34 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
3533, 34sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
36 swrd0val 13215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
3736eqeq1d 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ (𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
3837bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
3935, 38syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 ↾ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅))
4029, 39bitr2d 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) = ∅))
4140necon3bid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ↔ ((0..^(#‘𝑊)) ∩ (0..^((#‘𝑊) − 1))) ≠ ∅))
4225, 41mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
4342ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅))
44433ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅))
4544adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅))
4645imp 443 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅)
47 swrdcl 13213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
4847a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
49483ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
5049adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉))
5150imp 443 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
52 nn0z 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
53 peano2zm 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
55 peano2zm 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ)
5854adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
59 peano2rem 10195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
608, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
6160lem1d 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1))
6357, 58, 623jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
643, 63sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
65 eluz2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ↔ ((((#‘𝑊) − 1) − 1) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝑊) − 1)))
6664, 65sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
678lem1d 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊))
6930, 4, 683jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
703, 69sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ≤ (#‘𝑊)))
7170, 34sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
72 swrd0len 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
7372oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
7471, 73syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
7574fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (ℤ‘(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
7666, 75eleqtrrd 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)))
77 fzoss2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
79 ssralv 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8171, 72syldan 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) = ((#‘𝑊) − 1))
8281oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1) = (((#‘𝑊) − 1) − 1))
8382oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) = (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)))
8483eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))))
85 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8685adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8735adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
883, 30sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
89 nn0z 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
90 fzossrbm1 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9288, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) ⊆ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9392sselda 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
9486, 87, 933jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
95 swrd0fv 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥) = (𝑊𝑥))
9796eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊𝑥) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥))
983, 19sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ)
99 elfzom1p1elfzo 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
10098, 99sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)))
10186, 87, 1003jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))))
102 swrd0fv 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑥 + 1) ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)) = (𝑊‘(𝑥 + 1)))
104103eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → (𝑊‘(𝑥 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1)))
10597, 104preq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1))) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
106105ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^(((#‘𝑊) − 1) − 1)) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
10784, 106sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))}))
108107imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → {(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))})
109108eleq1d 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
110109biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1))) → ({(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
111110ralimdva 2940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
11280, 111syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
113112expcom 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
114113com3l 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ≠ ∅ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
1161153imp 1248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
117116adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
118117imp 443 . . . . . . . . 9 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)
11946, 51, 1183jca 1234 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸))
120 iswwlk 25973 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
121120adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
122121adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘𝑥), ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩)‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
123119, 122mpbird 245 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
124123ex 448 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸)) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
125124ex 448 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑥), (𝑊‘(𝑥 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
1262, 125sylbid 228 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
1271263adant3 1073 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))))
1281, 127mpcom 37 . 2 (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → (2 ≤ (#‘𝑊) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸)))
129128imp 443 1 ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ 2 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  Vcvv 3168  cin 3534  wss 3535  c0 3869  {cpr 4122  cop 4126   class class class wbr 4573  ran crn 5025  cres 5026   Fn wfn 5781  cfv 5786  (class class class)co 6523  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  2c2 10913  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   substr csubstr 13092   WWalks cwwlk 25967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-substr 13100  df-wwlk 25969
This theorem is referenced by:  wwlkextproplem3  26033
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