MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknllvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlknllvtx 27551
Description: If a word 𝑊 represents a walk of a fixed length 𝑁, then the first and the last symbol of the word is a vertex. (Contributed by AV, 14-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlknllvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlknllvtx (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem wwlknllvtx
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 27549 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 wwlknvtx 27550 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺))
3 0elfz 12992 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
4 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
54eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 = 0) → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
73, 6rspcdv 3612 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺)))
8 nn0fz0 12993 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
98biimpi 217 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
10 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑁))
1110eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 = 𝑁) → ((𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
139, 12rspcdv 3612 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
147, 13jcad 513 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
15143ad2ant1 1125 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑊𝑥) ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))))
161, 2, 15sylc 65 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
17 wwlknllvtx.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1817eleq2i 2901 . . 3 ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
1917eleq2i 2901 . . 3 ((𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺))
2018, 19anbi12i 626 . 2 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉) ↔ ((𝑊‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑊𝑁) ∈ (Vtx‘𝐺)))
2116, 20sylibr 235 1 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  0cn0 11885  ...cfz 12880  chash 13678  Word cword 13849  Vtxcvtx 26708   WWalksN cwwlksn 27531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-wwlks 27535  df-wwlksn 27536
This theorem is referenced by:  iswwlksnon  27558
  Copyright terms: Public domain W3C validator