Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlknp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlknp 26791
 Description: Properties of a set being a walk of length n (represented by a word). (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 9-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkbp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlknp.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlknp (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem wwlknp
StepHypRef Expression
1 wwlkbp.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlknbp 26790 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉))
3 iswwlksn 26786 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
4 wwlknp.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
51, 4iswwlks 26784 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
6 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))
8 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
9 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
10 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
128, 11sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) − 1) = 𝑁)
1312oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = (0..^𝑁))
1413raleqdv 3174 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1514biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
16153ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1716imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
186, 7, 173jca 1261 . . . . . . . 8 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1918ex 449 . . . . . . 7 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
205, 19sylbi 207 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
2120expdimp 452 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
2221com12 32 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
233, 22sylbid 230 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
24233ad2ant2 1103 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
252, 24mpcom 38 1 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {cpr 4212  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   − cmin 10304  ℕ0cn0 11330  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  WWalkscwwlks 26773   WWalksN cwwlksn 26774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779 This theorem is referenced by:  wwlknbp1  26792  wwlksnext  26856  wwlksnextbi  26857  wwlksnredwwlkn  26858  wwlksnredwwlkn0  26859  wwlksnextwrd  26860  wwlksnextsur  26863  wwlksnextproplem2  26873  wwlksnextproplem3  26874  rusgrnumwwlks  26941  clwwlkinwwlk  27003  clwwlkf1  27012  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  clwwlknonwwlknonb  27080  clwwlkvbij  27088  clwwlkvbijOLD  27089  numclwwlk2lem1  27356  numclwwlk2lem1OLD  27363
 Copyright terms: Public domain W3C validator