Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnextproplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnextproplem1 26686
 Description: Lemma 1 for wwlksnextprop 26689. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlksnextproplem1
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 26634 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))
2 0zd 11340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3 peano2nn0 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
52, 4jca 554 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
6 1z 11358 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
87, 7jca 554 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
95, 8jca 554 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)))
109adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)))
11 fzssp1 12333 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
12 nn0fz0 12385 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
1312biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
1411, 13sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
1514adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
16 elfz3 12300 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (1...1))
176, 16mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (1...1))
1815, 17jca 554 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 1 ∈ (1...1)))
19 fzadd2 12325 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 1 ∈ (1...1)) → (𝑁 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1))))
2010, 18, 19sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1)))
21 1e0p1 11503 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 = (0 + 1))
23 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
2422, 23oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...(#‘𝑊)) = ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1)))
2520, 24eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))
2625ex 450 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
27 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2826, 27jctild 565 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
291, 28syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
30 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
3129, 30eleq2s 2716 . . 3 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
3231imp 445 . 2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
33 swrd0fv0 13385 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3432, 33syl 17 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⟨cop 4159  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  ℕ0cn0 11243  ℤcz 11328  ...cfz 12275  #chash 13064  Word cword 13237   substr csubstr 13241  Vtxcvtx 25787   WWalksN cwwlksn 26600 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-substr 13249  df-wwlks 26604  df-wwlksn 26605 This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  26688  wwlksnextprop  26689
 Copyright terms: Public domain W3C validator