Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnwwlksnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnwwlksnon 26679
 Description: A walk of fixed length is a walk of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnwwlksnon ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnon
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 26621 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
21adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
54wrdeqi 13267 . . . . . . . . . 10 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
65eleq2i 2690 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 nn0p1nn 11276 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10 lbfzo0 12448 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
1211ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
13 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
1413eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1514ad2antll 764 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1612, 15mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
17 wrdsymbcl 13257 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
188, 16, 17syl2an2 874 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19 fzonn0p1 12485 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2019ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2113eleq2d 2684 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2221ad2antll 764 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2320, 22mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
24 wrdsymbcl 13257 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
258, 23, 24syl2an2 874 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
26 simplr 791 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
27 eqidd 2622 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
28 eqidd 2622 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))
29 eqeq2 2632 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
30293anbi2d 1401 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
31 eqeq2 2632 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁)))
32313anbi3d 1402 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))))
3330, 32rspc2ev 3308 . . . . . 6 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3418, 25, 26, 27, 28, 33syl113anc 1335 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
352, 34mpdan 701 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3635ex 450 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
37 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
3837a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
3938rexlimdvva 3031 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
4036, 39impbid 202 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
413wwlknon 26611 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
4241bicomd 213 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4342adantl 482 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
44432rexbidva 3049 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4540, 44bitrd 268 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230  Vtxcvtx 25774   WWalksN cwwlksn 26587   WWalksNOn cwwlksnon 26588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-wwlks 26591  df-wwlksn 26592  df-wwlksnon 26593 This theorem is referenced by:  wspthsnwspthsnon  26680  elwwlks2  26728
 Copyright terms: Public domain W3C validator