MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnwwlksnonOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnwwlksnonOLD 27035
Description: Obsolete version of wwlksnwwlksnon 27033 as of 13-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnwwlksnonOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnonOLD
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2OLD 26949 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
21adantl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqcomi 2769 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
54wrdeqi 13514 . . . . . . . . . 10 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
65eleq2i 2831 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 nn0p1nn 11524 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10 lbfzo0 12702 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
1211ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
13 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
1413eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1514ad2antll 767 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1612, 15mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
17 wrdsymbcl 13504 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
188, 16, 17syl2an2 910 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19 fzonn0p1 12739 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2019ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2113eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2221ad2antll 767 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2320, 22mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24 wrdsymbcl 13504 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
258, 23, 24syl2an2 910 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
26 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
27 eqidd 2761 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
28 eqidd 2761 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))
29 eqeq2 2771 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
30293anbi2d 1553 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
31 eqeq2 2771 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁)))
32313anbi3d 1554 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))))
3330, 32rspc2ev 3463 . . . . . 6 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3418, 25, 26, 27, 28, 33syl113anc 1489 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
352, 34mpdan 705 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3635ex 449 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
37 simp1 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
3837a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
3938rexlimdvva 3176 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
4036, 39impbid 202 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
413wwlknonOLD 26965 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
4241bicomd 213 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4342adantl 473 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
44432rexbidva 3194 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4540, 44bitrd 268 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cn 11212  0cn0 11484  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  Vtxcvtx 26073   WWalksN cwwlksn 26929   WWalksNOn cwwlksnon 26930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-wwlks 26933  df-wwlksn 26934  df-wwlksnon 26935
This theorem is referenced by:  wspthsnwspthsnonOLD  27036
  Copyright terms: Public domain W3C validator