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Theorem wwlksubclwwlks 41230
Description: Any prefix of a word representing a closed walk represents a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksubclwwlks ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksubclwwlks
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2605 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2clwwlknp 41193 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 swrdcl 13213 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nnz 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 eluzp1m1 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
98ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
11 peano2zm 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
13 nnre 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413lem1d 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ≤ 𝑀)
15 eluzuzle 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1612, 14, 15syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1710, 16syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))))
1817imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
19 fzoss2 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)))
22 ssralv 3624 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^(𝑁 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
26 eluz2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2713adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
28 peano2re 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
31 zre 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3231ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3313lep1d 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
3433adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
35 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3727, 30, 32, 34, 36letrd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → 𝑀𝑁)
38 nnnn0 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
3938ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
40 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 0red 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
4313adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4431adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4542, 43, 443jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4738nn0ge0d 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑀)
4948anim1i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀𝑁))
50 letr 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
5146, 49, 50sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
5241, 51jca 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
53 elnn0z 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
5452, 53sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5554adantlrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5739, 55, 563jca 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5837, 57mpdan 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5958expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
60593adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6126, 60sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁)))
6261impcom 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
63 elfz2nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
6462, 63sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
66 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑋) = 𝑁 → (0...(#‘𝑋)) = (0...𝑁))
6766eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑋) = 𝑁 → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
6968adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝑁)))
7065, 69mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
7170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)))
72 eluz2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ≤ 𝑀))
7312, 7, 14, 72syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
74 fzoss2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^(𝑀 − 1)) ⊆ (0..^𝑀))
7675sseld 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7776ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
7877imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
79 swrd0fv 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8025, 71, 78, 79syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖) = (𝑋𝑖))
8180eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋𝑖) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖))
82 fzonn0p1p1 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)))
83 nncn 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
84 npcan1 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8685oveq2d 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (0..^((𝑀 − 1) + 1)) = (0..^𝑀))
8786eleq2d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^((𝑀 − 1) + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8882, 87syl5ib 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
8988ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
9089imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀))
91 swrd0fv 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9225, 71, 90, 91syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑋‘(𝑖 + 1)))
9392eqcomd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → (𝑋‘(𝑖 + 1)) = ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1)))
9481, 93preq12d 4215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → {(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} = {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))})
9594eleq1d 2667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1))) → ({(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9695ralbidva 2963 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9723, 96sylibd 227 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9897impancom 454 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9998imp 443 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10024, 70jca 552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
101100adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))))
102 swrd0len 13216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (0...(#‘𝑋))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
104103oveq1d 6538 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1) = (𝑀 − 1))
105104oveq2d 6539 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)) = (0..^(𝑀 − 1)))
106105raleqdv 3116 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑀 − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
10799, 106mpbird 245 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
10824, 70, 102syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = 𝑀)
10985eqcomd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
110109ad2antrl 759 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → 𝑀 = ((𝑀 − 1) + 1))
111108, 110eqtrd 2639 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
112111adantlr 746 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))
1136, 107, 1123jca 1234 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
114113ex 448 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1151143adant3 1073 . . . . 5 (((𝑋 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑋) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑋𝑖), (𝑋‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑋), (𝑋‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
1163, 115syl 17 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
117116impcom 444 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1)))
118 nnm1nn0 11177 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
119118ad2antrr 757 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1201, 2iswwlksnx 41040 . . . 4 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
121119, 120syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺) ↔ ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) − 1)){((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘𝑖), ((𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (#‘(𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩)) = ((𝑀 − 1) + 1))))
122117, 121mpbird 245 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺)) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺))
123122ex 448 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑋 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑋 substr ⟨0, 𝑀⟩) ∈ ((𝑀 − 1) WWalkSN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wss 3535  {cpr 4122  cop 4126   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088   lastS clsw 13089   substr csubstr 13092  Vtxcvtx 40227  Edgcedga 40349   WWalkSN cwwlksn 41027   ClWWalkSN cclwwlksn 41182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-substr 13100  df-wwlks 41031  df-wwlksn 41032  df-clwwlks 41183  df-clwwlksn 41184
This theorem is referenced by:  av-numclwlk2lem2f  41531
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