Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wzelOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wzelOLD 31473
Description: The zero of a well-founded set is a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.) Obsolete version of wzel 31472 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
wzelOLD ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem wzelOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 weso 5065 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
2 socnv 31363 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
433ad2ant1 1080 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Or 𝐴)
5 simp1 1059 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 We 𝐴)
6 simp2 1060 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 Se 𝐴)
7 ssid 3603 . . . . 5 𝐴𝐴
87a1i 11 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐴)
9 simp3 1061 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
10 tz6.26 5670 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴𝐴𝐴 ≠ ∅)) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
115, 6, 8, 9, 10syl22anc 1324 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅)
12 pm2.27 42 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1312ad2antll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
1514rspcev 3295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)
1615ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1716ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))
1813, 17jctird 566 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) → (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
19 vex 3189 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
20 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
2120elpred 5652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
2322notbii 310 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
24 imnan 438 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ¬ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
2523, 24bitr4i 267 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
2619, 20brcnv 5265 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
2726notbii 310 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2827anbi1i 730 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
2918, 25, 283imtr4g 285 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3029expr 642 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
3130com23 86 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → (𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
3231alimdv 1842 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) → ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))))
33 eq0 3905 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦 ¬ 𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥))
34 r19.26 3057 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
35 df-ral 2912 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3634, 35bitr3i 266 . . . . 5 ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3732, 33, 363imtr4g 285 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3837reximdva 3011 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑥) = ∅ → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
3911, 38mpd 15 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦𝑅𝑧)))
404, 39supcl 8308 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613   Or wor 4994   Se wse 5031   We wwe 5032  ccnv 5073  Predcpred 5638  supcsup 8290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-cnv 5082  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-iota 5810  df-riota 6565  df-sup 8292
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator