MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  x2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem x2times 11958
Description: Extended real version of 2times 10992. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
x2times (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem x2times
StepHypRef Expression
1 df-2 10926 . . . 4 2 = (1 + 1)
2 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 rexadd 11896 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
42, 2, 3mp2an 703 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
51, 4eqtr4i 2634 . . 3 2 = (1 +𝑒 1)
65oveq1i 6537 . 2 (2 ·e 𝐴) = ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴)
72rexri 9948 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
8 0le1 10400 . . . . 5 0 ≤ 1
97, 8pm3.2i 469 . . . 4 (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
10 xadddi2r 11957 . . . 4 (((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
119, 9, 10mp3an12 1405 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
12 xmulid2 11939 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
1312, 12oveq12d 6545 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
1411, 13eqtrd 2643 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
156, 14syl5eq 2655 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929  cle 9931  2c2 10917   +𝑒 cxad 11776   ·e cxmu 11777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-2 10926  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780
This theorem is referenced by:  psmetge0  21869  xmetge0  21900  metnrmlem3  22403
  Copyright terms: Public domain W3C validator