Theorem x2times 12686

Description: Extended real version of 2times 11767. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
x2times	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Proof of Theorem x2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 11694	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1re 10635	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rexadd 12619	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
4	2, 2, 3	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
5	1, 4	eqtr4i 2847	. . 3 ⊢ 2 = (1 +𝑒 1)
6	5	oveq1i 7160	. 2 ⊢ (2 ·e 𝐴) = ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴)
7		1xr 10694	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		0le1 11157	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1)
10		xadddi2r 12685	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ (1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
11	9, 9, 10	mp3an12 1447	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)))
12		xmulid2 12667	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
13	12, 12	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 ·e 𝐴) +𝑒 (1 ·e 𝐴)) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
14	11, 13	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((1 +𝑒 1) ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))
15	6, 14	syl5eq 2868	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (2 ·e 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  2c2 11686   +_𝑒 cxad 12499   ·_e cxmu 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-2 11694  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503

This theorem is referenced by:  psmetge0  22916  xmetge0  22948  metnrmlem3  23463