Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xadd0ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd0ge 39000
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd0ge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xadd0ge (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge
StepHypRef Expression
1 xadd0ge.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddid1 12015 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
43eqcomd 2627 . 2 (𝜑𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5 0xr 10030 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
71, 6jca 554 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8 iccssxr 12198 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9 xadd0ge.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
108, 9sseldi 3581 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
111, 10jca 554 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
127, 11jca 554 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)))
13 xrleid 11927 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
141, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴𝐴)
15 pnfxr 10036 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
17 iccgelb 12172 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
186, 16, 9, 17syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
1914, 18jca 554 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
20 xle2add 12032 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
2112, 19, 20sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
224, 21eqbrtrd 4635 1 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  *cxr 10017  cle 10019   +𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-xadd 11891  df-icc 12124
This theorem is referenced by:  xadd0ge2  39021  sge0xadd  39959  meassle  39987  ovnsubaddlem1  40091
  Copyright terms: Public domain W3C validator