MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcl 12620
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddcl ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcl
StepHypRef Expression
1 xaddf 12605 . 2 +𝑒 :(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
21fovcl 7268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  (class class class)co 7145  *cxr 10662   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  xaddass  12630  xaddass2  12631  xleadd1a  12634  xleadd1  12636  xltadd1  12637  xaddge0  12639  xle2add  12640  xlt2add  12641  xsubge0  12642  xposdif  12643  xlesubadd  12644  xadddi  12676  xadddir  12677  xadddi2  12678  xadddi2r  12679  xaddcld  12682  ge0xaddcl  12838  xrsmgm  20508  xrs1mnd  20511  xrsds  20516  xrsxmet  23344  xrofsup  30418  supxrgelem  41481  caragenel2d  42691
  Copyright terms: Public domain W3C validator