MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddcld 12116
Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
xnegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xaddcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xaddcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xaddcld
StepHypRef Expression
1 xnegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 xaddcl 12055 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  (class class class)co 6635  *cxr 10058   +𝑒 cxad 11929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-xadd 11932
This theorem is referenced by:  xadd4d  12118  imasdsf1olem  22159  bldisj  22184  xblss2ps  22187  xblss2  22188  blcld  22291  comet  22299  stdbdxmet  22301  metdstri  22635  metdscnlem  22639  iscau3  23057  xlt2addrd  29497  xrge0addcld  29501  xrge0subcld  29502  xrofsup  29507  xrsmulgzz  29652  xrge0adddir  29666  xrge0adddi  29667  esumle  30094  esumlef  30098  omssubadd  30336  inelcarsg  30347  carsgclctunlem2  30355  carsgclctunlem3  30356  carsgclctun  30357  xle2addd  39365  infrpge  39380  xrlexaddrp  39381  infleinflem1  39399  infleinflem2  39400  limsupgtlem  39803  ismbl3  39966  ismbl4  39973  sge0prle  40381  sge0split  40389  sge0iunmptlemre  40395  sge0xaddlem1  40413  omeunle  40493  carageniuncl  40500  ovnsubaddlem1  40547  hspmbl  40606  ovolval5lem1  40629
  Copyright terms: Public domain W3C validator