MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadddi 12076
Description: Distributive property for extended real addition and multiplication. Like xaddass 12030, this has an unusual domain of correctness due to counterexamples like (+∞ · (2 − 1)) = -∞ ≠ ((+∞ · 2) − (+∞ · 1)) = (+∞ − +∞) = 0. In this theorem we show that if the multiplier is real then everything works as expected. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi
StepHypRef Expression
1 xadddilem 12075 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4 xaddcl 12021 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
52, 3, 4syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
6 xmul02 12049 . . . . 5 ((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = 0)
8 0xr 10038 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 xaddid1 12023 . . . . 5 (0 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 0) = 0)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (0 +𝑒 0) = 0
117, 10syl6eqr 2673 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (0 +𝑒 0))
12 simpr 477 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
1312oveq1d 6625 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
14 xmul02 12049 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐵) = 0)
152, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = 0)
1612oveq1d 6625 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 𝐵))
1715, 16eqtr3d 2657 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐵))
18 xmul02 12049 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
193, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = 0)
2012oveq1d 6625 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 ·e 𝐶) = (𝐴 ·e 𝐶))
2119, 20eqtr3d 2657 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴 ·e 𝐶))
2217, 21oveq12d 6628 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (0 +𝑒 0) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
2311, 13, 223eqtr3d 2663 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
24 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ)
2524adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 rexneg 11993 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
27 renegcl 10296 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
2925, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
30 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐶 ∈ ℝ*)
3224rexrd 10041 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 xlt0neg1 12001 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
3534biimpa 501 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
36 xadddilem 12075 . . . . 5 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
3729, 30, 31, 35, 36syl31anc 1326 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)))
3832adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3930, 31, 4syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
40 xmulneg1 12050 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4138, 39, 40syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
42 xmulneg1 12050 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
4338, 30, 42syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐵) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐵))
44 xmulneg1 12050 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
4538, 31, 44syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e 𝐶) = -𝑒(𝐴 ·e 𝐶))
4643, 45oveq12d 6628 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
47 xmulcl 12054 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
4838, 30, 47syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ*)
49 xmulcl 12054 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
5038, 31, 49syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
51 xnegdi 12029 . . . . . 6 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
5248, 50, 51syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-𝑒(𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 -𝑒(𝐴 ·e 𝐶)))
5346, 52eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝑒𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (-𝑒𝐴 ·e 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
5437, 41, 533eqtr3d 2663 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
55 xmulcl 12054 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
5638, 39, 55syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ*)
57 xaddcl 12021 . . . . 5 (((𝐴 ·e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
5848, 50, 57syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*)
59 xneg11 11997 . . . 4 (((𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) ∈ ℝ* ∧ ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
6056, 58, 59syl2anc 692 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -𝑒((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) ↔ (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶))))
6154, 60mpbid 222 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
62 0re 9992 . . 3 0 ∈ ℝ
63 lttri4 10074 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴𝐴 < 0))
6462, 24, 63sylancr 694 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴𝐴 < 0))
651, 23, 61, 64mpjao3dan 1392 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  *cxr 10025   < clt 10026  -cneg 10219  -𝑒cxne 11895   +𝑒 cxad 11896   ·e cxmu 11897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900
This theorem is referenced by:  xadddir  12077  xadddi2  12078
  Copyright terms: Public domain W3C validator