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Theorem xadddi2 12678
Description: The assumption that the multiplier be real in xadddi 12676 can be relaxed if the addends have the same sign. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddi2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddi2
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simp2l 1191 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 simp3l 1193 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6 xadddi 12676 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
71, 3, 5, 6syl3anc 1363 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
8 pnfxr 10683 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
94adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
10 xmulcl 12654 . . . . . 6 ((+∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
12 simpl3r 1221 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
13 0lepnf 12515 . . . . . . . . 9 0 ≤ +∞
14 xmulge0 12665 . . . . . . . . 9 (((+∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
158, 13, 14mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
164, 12, 15syl2an2r 681 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶))
17 ge0nemnf 12554 . . . . . . 7 (((+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (+∞ ·e 𝐶)) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
1811, 16, 17syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
1918adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞)
20 xaddpnf2 12608 . . . . 5 (((+∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = +∞)
2111, 19, 20syl2an2r 681 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = +∞)
22 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
23 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
2422, 23oveq12d 7163 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((+∞ ·e 𝐵) +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
25 xmulpnf2 12656 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
262, 25sylan 580 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
2726oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐵) +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
2824, 27sylan9eqr 2875 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (+∞ ·e 𝐶)))
29 oveq1 7152 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
30 xaddcl 12620 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
312, 4, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
32 0xr 10676 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 ∈ ℝ*)
342adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3531adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
36 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
3734xaddid1d 12624 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 0) = 𝐵)
38 xleadd2a 12635 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐵 +𝑒 0) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
3933, 9, 34, 12, 38syl31anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 0) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4037, 39eqbrtrrd 5081 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
4133, 34, 35, 36, 40xrltletrd 12542 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
42 xmulpnf2 12656 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶)) → (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4331, 41, 42syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4429, 43sylan9eqr 2875 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
4521, 28, 443eqtr4rd 2864 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
46 mnfxr 10686 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
47 xmulcl 12654 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
4846, 9, 47sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
49 xnegmnf 12591 . . . . . . . . . . . 12 -𝑒-∞ = +∞
5049oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶)
51 xmulneg1 12650 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = -𝑒(-∞ ·e 𝐶))
5246, 9, 51sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒-∞ ·e 𝐶) = -𝑒(-∞ ·e 𝐶))
5350, 52syl5reqr 2868 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → -𝑒(-∞ ·e 𝐶) = (+∞ ·e 𝐶))
54 xnegpnf 12590 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → -𝑒+∞ = -∞)
5653, 55eqeq12d 2834 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (+∞ ·e 𝐶) = -∞))
57 xneg11 12596 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
5848, 8, 57sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-𝑒(-∞ ·e 𝐶) = -𝑒+∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
5956, 58bitr3d 282 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐶) = -∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) = +∞))
6059necon3bid 3057 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((+∞ ·e 𝐶) ≠ -∞ ↔ (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞))
6118, 60mpbid 233 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞)
62 xaddmnf2 12610 . . . . . 6 (((-∞ ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (-∞ ·e 𝐶) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
6348, 61, 62syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
6463adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = -∞)
65 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (-∞ ·e 𝐵))
66 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 𝐶) = (-∞ ·e 𝐶))
6765, 66oveq12d 7163 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = ((-∞ ·e 𝐵) +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
68 xmulmnf2 12658 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐵) = -∞)
692, 68sylan 580 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e 𝐵) = -∞)
7069oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → ((-∞ ·e 𝐵) +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
7167, 70sylan9eqr 2875 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (-∞ +𝑒 (-∞ ·e 𝐶)))
72 oveq1 7152 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)))
73 xmulmnf2 12658 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐵 +𝑒 𝐶)) → (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7431, 41, 73syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (-∞ ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7572, 74sylan9eqr 2875 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = -∞)
7664, 71, 753eqtr4rd 2864 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
77 simpl1 1183 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
78 elxr 12499 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7977, 78sylib 219 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
807, 45, 76, 79mpjao3dan 1423 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
81 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82 xmulcl 12654 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8381, 4, 82syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
8483adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
85 xaddid2 12623 . . . 4 ((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
8684, 85syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
87 oveq2 7153 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 0) = (𝐴 ·e 𝐵))
8887eqcomd 2824 . . . . 5 (0 = 𝐵 → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e 0))
89 xmul01 12648 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 0) = 0)
90893ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e 0) = 0)
9188, 90sylan9eqr 2875 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e 𝐵) = 0)
9291oveq1d 7160 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)) = (0 +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
93 oveq1 7152 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (0 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
9493eqcomd 2824 . . . . 5 (0 = 𝐵 → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (0 +𝑒 𝐶))
95 xaddid2 12623 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
964, 95syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
9794, 96sylan9eqr 2875 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = 𝐶)
9897oveq2d 7161 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 ·e 𝐶))
9986, 92, 983eqtr4rd 2864 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
100 simp2r 1192 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
101 xrleloe 12525 . . . 4 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
10232, 2, 101sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
103100, 102mpbid 233 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
10480, 99, 103mpjaodan 952 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ·e (𝐵 +𝑒 𝐶)) = ((𝐴 ·e 𝐵) +𝑒 (𝐴 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  -𝑒cxne 12492   +𝑒 cxad 12493   ·e cxmu 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497
This theorem is referenced by:  xadddi2r  12679
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