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Theorem xaddeq0 29379
Description: Two extended reals which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xaddeq0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xaddeq0
StepHypRef Expression
1 elxr 11901 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10040 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 xnegneg 11995 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
63xnegcld 12080 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xaddid2 12023 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
9 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 xaddcom 12021 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
113, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
1211oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
13 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
1413oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = (0 +𝑒 -𝑒𝐴))
15 xpncan 12031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1615ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1812, 14, 173eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
198, 18eqtr3d 2657 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 = 𝐵)
20 xnegeq 11988 . . . . . . 7 (-𝑒𝐴 = 𝐵 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
225, 21eqtr3d 2657 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
2322ex 450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
24 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = +∞)
25 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2624oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
2826, 27eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
29 0re 9991 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
30 renepnf 10038 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ +∞)
3228, 31eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
3332neneqd 2795 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
34 xaddpnf2 12008 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
3534stoic1a 1694 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
3625, 33, 35syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
37 nne 2794 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ -∞ ↔ 𝐵 = -∞)
3836, 37sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = -∞)
39 xnegeq 11988 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
41 xnegmnf 11991 . . . . . . 7 -𝑒-∞ = +∞
4240, 41syl6req 2672 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → +∞ = -𝑒𝐵)
4324, 42eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
4443ex 450 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
45 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -∞)
46 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4745oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
4947, 48eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
50 renemnf 10039 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
5129, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ -∞)
5249, 51eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
5352neneqd 2795 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
54 xaddmnf2 12010 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
5554stoic1a 1694 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
5646, 53, 55syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
57 nne 2794 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ +∞ ↔ 𝐵 = +∞)
5856, 57sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = +∞)
59 xnegeq 11988 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
61 xnegpnf 11990 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
6260, 61syl6req 2672 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -∞ = -𝑒𝐵)
6345, 62eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6463ex 450 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
6523, 44, 643jaoian 1390 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
661, 65sylanb 489 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
67 simpr 477 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6867oveq1d 6625 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵))
69 xnegcl 11994 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7069ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
71 simplr 791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72 xaddcom 12021 . . . . 5 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
7370, 71, 72syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
74 xnegid 12019 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7574ad2antlr 762 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7668, 73, 753eqtrd 2659 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
7776ex 450 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = -𝑒𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0))
7866, 77impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887  +∞cpnf 10022  -∞cmnf 10023  *cxr 10024  -𝑒cxne 11894   +𝑒 cxad 11895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-neg 10220  df-xneg 11897  df-xadd 11898
This theorem is referenced by:  xrsinvgval  29480
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