Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xaddeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddeq0 30403
Description: Two extended reals which add up to zero are each other's negatives. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
xaddeq0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xaddeq0
StepHypRef Expression
1 elxr 12499 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 10679 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 xnegneg 12595 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
63xnegcld 12681 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xaddid2 12623 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = -𝑒𝐴)
9 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 xaddcom 12621 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
113, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐴))
1211oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
13 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
1413oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐴) = (0 +𝑒 -𝑒𝐴))
15 xpncan 12632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1615ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ((𝐵 +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
1812, 14, 173eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (0 +𝑒 -𝑒𝐴) = 𝐵)
198, 18eqtr3d 2855 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐴 = 𝐵)
20 xnegeq 12588 . . . . . . 7 (-𝑒𝐴 = 𝐵 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒𝐵)
225, 21eqtr3d 2855 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
2322ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
24 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = +∞)
25 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2624oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
27 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
2826, 27eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
29 0re 10631 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
30 renepnf 10677 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ +∞)
3228, 31eqnetrd 3080 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (+∞ +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
3332neneqd 3018 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
34 xaddpnf2 12608 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
3534stoic1a 1764 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
3625, 33, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ -∞)
37 nne 3017 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ -∞ ↔ 𝐵 = -∞)
3836, 37sylib 219 . . . . . . . 8 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = -∞)
39 xnegeq 12588 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
41 xnegmnf 12591 . . . . . . 7 -𝑒-∞ = +∞
4240, 41syl6req 2870 . . . . . 6 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → +∞ = -𝑒𝐵)
4324, 42eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
4443ex 413 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
45 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -∞)
46 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4745oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
4947, 48eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
50 renemnf 10678 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
5129, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 0 ≠ -∞)
5249, 51eqnetrd 3080 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → (-∞ +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
5352neneqd 3018 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
54 xaddmnf2 12610 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
5554stoic1a 1764 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ¬ (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
5646, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → ¬ 𝐵 ≠ +∞)
57 nne 3017 . . . . . . . . 9 𝐵 ≠ +∞ ↔ 𝐵 = +∞)
5856, 57sylib 219 . . . . . . . 8 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐵 = +∞)
59 xnegeq 12588 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
61 xnegpnf 12590 . . . . . . 7 -𝑒+∞ = -∞
6260, 61syl6req 2870 . . . . . 6 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → -∞ = -𝑒𝐵)
6345, 62eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6463ex 413 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
6523, 44, 643jaoian 1421 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
661, 65sylanb 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 → 𝐴 = -𝑒𝐵))
67 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐴 = -𝑒𝐵)
6867oveq1d 7160 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵))
69 xnegcl 12594 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7069ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
71 simplr 765 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72 xaddcom 12621 . . . . 5 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (-𝑒𝐵 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵))
74 xnegid 12619 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7574ad2antlr 723 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7668, 73, 753eqtrd 2857 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 = -𝑒𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0)
7776ex 413 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = -𝑒𝐵 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = 0))
7866, 77impbid 213 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662  -𝑒cxne 12492   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-xneg 12495  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  xrsinvgval  30591
  Copyright terms: Public domain W3C validator