MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddid1 12257
Description: Extended real version of addid1 10400. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddid1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)

Proof of Theorem xaddid1
StepHypRef Expression
1 elxr 12135 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 0re 10224 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 rexadd 12248 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
42, 3mpan2 709 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = (𝐴 + 0))
5 recn 10210 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
65addid1d 10420 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
74, 6eqtrd 2786 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
8 0xr 10270 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
9 renemnf 10272 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
102, 9ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ -∞
11 xaddpnf2 12243 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 0) = +∞)
128, 10, 11mp2an 710 . . . 4 (+∞ +𝑒 0) = +∞
13 oveq1 6812 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (+∞ +𝑒 0))
14 id 22 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1512, 13, 143eqtr4a 2812 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
16 renepnf 10271 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
172, 16ax-mp 5 . . . . 5 0 ≠ +∞
18 xaddmnf2 12245 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 0) = -∞)
198, 17, 18mp2an 710 . . . 4 (-∞ +𝑒 0) = -∞
20 oveq1 6812 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = (-∞ +𝑒 0))
21 id 22 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2219, 20, 213eqtr4a 2812 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
237, 15, 223jaoi 1532 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
241, 23sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1071   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120   + caddc 10123  +∞cpnf 10255  -∞cmnf 10256  *cxr 10257   +𝑒 cxad 12129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-xadd 12132
This theorem is referenced by:  xaddid2  12258  xaddid1d  12259  xnn0xadd0  12262  xpncan  12266  xadddi  12310  xadddi2  12312  xrsnsgrp  19976  xrs1mnd  19978  xrs10  19979  psmetsym  22308  xmetsym  22345  imasdsf1olem  22371  stdbdxmet  22513  xrge0gsumle  22829  metdsle  22848  metnrmlem1  22855  vtxdlfgrval  26583  vtxdginducedm1  26641  xraddge02  29822  xlt2addrd  29824  xrs0  29976  xrge0addgt0  29992  xrge0npcan  29995  metideq  30237  metider  30238  esumpad  30418  esumpr2  30430  esumpfinvallem  30437  esumpmono  30442  ddemeas  30600  aean  30608  baselcarsg  30669  carsgclctunlem2  30682  xadd0ge  40026  sge0tsms  41092  sge0ss  41124
  Copyright terms: Public domain W3C validator