MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddnepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddnepnf 12014
Description: Closure of extended real addition in the subset * / {+∞}. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddnepnf (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)

Proof of Theorem xaddnepnf
StepHypRef Expression
1 xrnepnf 11899 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞))
2 xrnepnf 11899 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
3 rexadd 12009 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4 readdcl 9966 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53, 4eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ)
65renepnfd 10037 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
7 oveq2 6615 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
8 rexr 10032 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
9 renepnf 10034 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
10 xaddmnf1 12005 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
118, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
127, 11sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
13 mnfnepnf 10042 . . . . . . 7 -∞ ≠ +∞
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≠ +∞)
1512, 14eqnetrd 2857 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
166, 15jaodan 825 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
172, 16sylan2b 492 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
18 oveq1 6614 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
19 xaddmnf2 12006 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
2018, 19sylan9eq 2675 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
2113a1i 11 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → -∞ ≠ +∞)
2220, 21eqnetrd 2857 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
2317, 22jaoian 823 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
241, 23sylanb 489 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6607  cr 9882   + caddc 9886  +∞cpnf 10018  -∞cmnf 10019  *cxr 10020   +𝑒 cxad 11891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-i2m1 9951
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-xadd 11894
This theorem is referenced by:  xlt2add  12036
  Copyright terms: Public domain W3C validator