Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivpnfrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivpnfrp 29942
Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivpnfrp (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprene0 12034 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2 pnfxr 10276 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
31, 2jctil 561 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4 3anass 1081 . . . 4 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
53, 4sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6 xdivval 29928 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
82a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9 xlemul2 12306 . . . . . . 7 ((+∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
102, 9mp3an1 1552 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
1110ancoms 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12 rpxr 12025 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ*)
13 rpgt0 12029 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14 xmulpnf1 12289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1512, 13, 14syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1615adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1716breq1d 4806 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
1811, 17bitr2d 269 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19 xmulcl 12288 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
2012, 19sylan 489 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21 xgepnf 12181 . . . . 5 ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23 xgepnf 12181 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥𝑥 = +∞))
2423adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥𝑥 = +∞))
2518, 22, 243bitr3d 298 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
268, 25riota5 6792 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
277, 26eqtrd 2786 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  crio 6765  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  +crp 12017   ·e cxmu 12130   /𝑒 cxdiv 29926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xmul 12133  df-xdiv 29927
This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  29944
  Copyright terms: Public domain W3C validator