Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivpnfrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivpnfrp 29418
Description: Plus infinity divided by a positive real number is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xdivpnfrp (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xdivpnfrp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rprene0 11793 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
2 pnfxr 10037 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
31, 2jctil 559 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
4 3anass 1040 . . . 4 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ↔ (+∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0)))
53, 4sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
6 xdivval 29404 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (+∞ /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
82a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → +∞ ∈ ℝ*)
9 xlemul2 12061 . . . . . . 7 ((+∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
102, 9mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ+) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
1110ancoms 469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥 ↔ (𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
12 rpxr 11784 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ*)
13 rpgt0 11788 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
14 xmulpnf1 12044 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1512, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1716breq1d 4628 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e +∞) ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥)))
1811, 17bitr2d 269 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ +∞ ≤ 𝑥))
19 xmulcl 12043 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
2012, 19sylan 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ*)
21 xgepnf 29350 . . . . 5 ((𝐴 ·e 𝑥) ∈ ℝ* → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ (𝐴 ·e 𝑥) ↔ (𝐴 ·e 𝑥) = +∞))
23 xgepnf 29350 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝑥𝑥 = +∞))
2423adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝑥𝑥 = +∞))
2518, 22, 243bitr3d 298 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝑥) = +∞ ↔ 𝑥 = +∞))
268, 25riota5 6592 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ·e 𝑥) = +∞) = +∞)
277, 26eqtrd 2660 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (+∞ /𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  crio 6565  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  +crp 11776   ·e cxmu 11889   /𝑒 cxdiv 29402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xmul 11892  df-xdiv 29403
This theorem is referenced by:  xrpxdivcld  29420
  Copyright terms: Public domain W3C validator