Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xihopellsmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xihopellsmN 35355
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
xihopellsm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
xihopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
xihopellsm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.a 𝐴 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
xihopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑈)
xihopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
xihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
xihopellsm.x (𝜑𝑋𝐵)
xihopellsm.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
xihopellsmN (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑔,,𝑡,𝑢,𝐹   𝑓,𝑔,𝑡,𝐻   𝑔,𝐼,,𝑡,𝑢   𝑓,𝑠,𝐾,𝑔,𝑡   𝑆,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑈,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑓,𝑊,𝑔,𝑠,𝑡   𝑔,𝑋,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑌,,𝑡,𝑢   𝜑,𝑔,,𝑡,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑠)   𝐴(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   (𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑆(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑈(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑢,𝑓,𝑔,)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐻(𝑢,,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑢,)   𝐿(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑢,)   𝑋(𝑓,𝑠)   𝑌(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem xihopellsmN
StepHypRef Expression
1 xihopellsm.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 xihopellsm.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 xihopellsm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 xihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 xihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 xihopellsm.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2610 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 35351 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
91, 2, 8syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10 xihopellsm.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 35351 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 10, 11syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
14 xihopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 35218 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
17 xihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 xihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
191adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
202adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑋𝐵)
21 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 35354 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2410adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → 𝑌𝐵)
25 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 35354 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝑇𝑢𝐸))
2722, 26anim12dan 878 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)))
281adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
30 simprr 792 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑇𝑢𝐸))
31 xihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 35195 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3433eqeq2d 2620 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩))
35 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3176 . . . . . . . 8 ∈ V
3735, 36coex 6989 . . . . . . 7 (𝑔) ∈ V
38 ovex 6555 . . . . . . 7 (𝑡𝐴𝑢) ∈ V
3937, 38opth2 4869 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))
4034, 39syl6bb 275 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4127, 40syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4241pm5.32da 671 . . 3 (𝜑 → (((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
43424exbidv 1841 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
4416, 43bitrd 267 1 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  cop 4131  cmpt 4638  ccom 5032  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  LSSumclsm 17821  LSubSpclss 18702  HLchlt 33449  LHypclh 34082  LTrncltrn 34199  TEndoctendo 34852  DVecHcdvh 35179  DIsoHcdih 35329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-tpos 7217  df-undef 7264  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-0g 15874  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-subg 17363  df-cntz 17522  df-lsm 17823  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-drng 18521  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-lsp 18742  df-lvec 18873  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-lplanes 33597  df-lvols 33598  df-lines 33599  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894  df-lhyp 34086  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203  df-trl 34258  df-tendo 34855  df-edring 34857  df-disoa 35130  df-dvech 35180  df-dib 35240  df-dic 35274  df-dih 35330
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator