MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlebnum 22520
Description: Generalize lebnum 22519 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xlebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
xlebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
xlebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
xlebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝜑,𝑢,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐽(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2 xlebnum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 1rp 11671 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 eqid 2610 . . . . 5 (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
54stdbdmet 22079 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
62, 3, 5sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
7 rpxr 11675 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
83, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
9 0lt1 10402 . . . . . 6 0 < 1
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
11 xlebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
124, 11stdbdmopn 22081 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
132, 8, 10, 12syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14 xlebnum.c . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
1513, 14eqeltrrd 2689 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16 xlebnum.s . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
1716, 13sseqtrd 3604 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18 xlebnum.u . . 3 (𝜑𝑋 = 𝑈)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 22519 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢)
20 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21 ifcl 4080 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
2220, 3, 21sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
232ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
259a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 0 < 1)
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2722adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
28 rpxr 11675 . . . . . . . . . 10 (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
30 rpre 11674 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3130ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ)
32 1re 9896 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
33 min2 11857 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
3431, 32, 33sylancl 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
354stdbdbl 22080 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1333 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
376ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
38 metxmet 21897 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
40 rpxr 11675 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42 min1 11856 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
4331, 32, 42sylancl 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
44 ssbl 21986 . . . . . . . . 9 ((((𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1329 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
4636, 45eqsstr3d 3603 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
47 sstr2 3575 . . . . . . 7 ((𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) → ((𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
4948reximdv 2999 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5049ralimdva 2945 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
51 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
5251sseq1d 3595 . . . . . . 7 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5352rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5453ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5554rspcev 3282 . . . 4 ((if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5622, 50, 55syl6an 566 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5756rexlimdva 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5819, 57mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  ifcif 4036   cuni 4367   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  *cxr 9930   < clt 9931  cle 9932  +crp 11667  ∞Metcxmt 19501  Metcme 19502  ballcbl 19503  MetOpencmopn 19506  Compccmp 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-ec 7609  df-map 7724  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-cmp 20948  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator