MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlemul1 12117
Description: Extended real version of lemul1 10872. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xlemul1
StepHypRef Expression
1 rpxr 11837 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ*)
2 rpge0 11842 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐶)
31, 2jca 554 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶))
4 xlemul1a 12115 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶))
54ex 450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
63, 5syl3an3 1360 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 → (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
7 simp1 1060 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
813ad2ant3 1083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 xmulcl 12100 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
107, 8, 9syl2anc 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
11 simp2 1061 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12 xmulcl 12100 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
1311, 8, 12syl2anc 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ*)
14 rpreccl 11854 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
15143ad2ant3 1083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
16 rpxr 11837 . . . . 5 ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
18 rpge0 11842 . . . . 5 ((1 / 𝐶) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐶))
1915, 18syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝐶))
20 xlemul1a 12115 . . . . 5 ((((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) ∧ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)))
2120ex 450 . . . 4 (((𝐴 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝐶) ∈ ℝ* ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 𝐶))) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
2210, 13, 17, 19, 21syl112anc 1329 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶))))
23 xmulass 12114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
247, 8, 17, 23syl3anc 1325 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
25 rpre 11836 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ)
26253ad2ant3 1083 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
2715rpred 11869 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
28 rexmul 12098 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
2926, 27, 28syl2anc 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = (𝐶 · (1 / 𝐶)))
3026recnd 10065 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
31 rpne0 11845 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 0)
32313ad2ant3 1083 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
3330, 32recidd 10793 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (1 / 𝐶)) = 1)
3429, 33eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 ·e (1 / 𝐶)) = 1)
3534oveq2d 6663 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐴 ·e 1))
36 xmulid1 12106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
377, 36syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
3824, 35, 373eqtrd 2659 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐴)
39 xmulass 12114 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (1 / 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
4011, 8, 17, 39syl3anc 1325 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))))
4134oveq2d 6663 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e (𝐶 ·e (1 / 𝐶))) = (𝐵 ·e 1))
42 xmulid1 12106 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
4311, 42syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 ·e 1) = 𝐵)
4440, 41, 433eqtrd 2659 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) = 𝐵)
4538, 44breq12d 4664 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ≤ ((𝐵 ·e 𝐶) ·e (1 / 𝐶)) ↔ 𝐴𝐵))
4622, 45sylibd 229 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶) → 𝐴𝐵))
476, 46impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 ·e 𝐶) ≤ (𝐵 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   · cmul 9938  *cxr 10070  cle 10072   / cdiv 10681  +crp 11829   ·e cxmu 11942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xmul 11945
This theorem is referenced by:  xlemul2  12118  xltmul1  12119  nmoleub2lem  22908  xrmulc1cn  29961
  Copyright terms: Public domain W3C validator