Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimclim 40551
Description: Given a sequence of reals, it converges to a real number 𝐴 w.r.t. the standard topology on the reals, if and only if it converges to 𝐴 w.r.t. to the standard topology on the extended reals (see climreeq 40346). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimclim.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimclim.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimclim.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
xlimclim.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xlimclim (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem xlimclim
StepHypRef Expression
1 df-xlim 40546 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
21breqi 4808 . . 3 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
4 xrtgioo2 40300 . . 3 (topGen‘ran (,)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t ℝ)
5 xlimclim.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 reex 10217 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 letop 21210 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
10 xlimclim.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 xlimclim.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 xlimclim.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
134, 5, 7, 9, 10, 11, 12lmss 21302 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
14 eqid 2758 . . 3 (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,))) = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
1514, 5, 11, 12climreeq 40346 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴𝐹𝐴))
163, 13, 153bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1630  wcel 2137  Vcvv 3338   class class class wbr 4802  ran crn 5265  wf 6043  cfv 6047  cr 10125  cle 10265  cz 11567  cuz 11877  (,)cioo 12366  cli 14412  topGenctg 16298  ordTopcordt 16359  Topctop 20898  𝑡clm 21230  ~~>*clsxlim 40545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-rest 16283  df-topn 16284  df-topgen 16304  df-ordt 16361  df-ps 17399  df-tsr 17400  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-lm 21233  df-xms 22324  df-ms 22325  df-xlim 40546
This theorem is referenced by:  climxlim  40553  xlimclim2lem  40566
  Copyright terms: Public domain W3C validator