Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimconst 41982
Description: A constant sequence converges to its value, w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimconst.p 𝑘𝜑
xlimconst.k 𝑘𝐹
xlimconst.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimconst.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimconst.f (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
xlimconst.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xlimconst.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xlimconst (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem xlimconst
StepHypRef Expression
1 xlimconst.p . . . 4 𝑘𝜑
2 xlimconst.k . . . 4 𝑘𝐹
3 xlimconst.f . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
4 xlimconst.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xlimconst.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5fconst7 41415 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑍 × {𝐴}))
7 letopon 21741 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
8 xlimconst.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 xlimconst.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
109lmconst 21797 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
117, 4, 8, 10mp3an2i 1457 . . 3 (𝜑 → (𝑍 × {𝐴})(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
126, 11eqbrtrd 5079 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
13 df-xlim 41976 . . 3 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
1413breqi 5063 . 2 (𝐹~~>*𝐴𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
1512, 14sylibr 235 1 (𝜑𝐹~~>*𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  {csn 4557   class class class wbr 5057   × cxp 5546   Fn wfn 6343  cfv 6348  *cxr 10662  cle 10664  cz 11969  cuz 12231  ordTopcordt 16760  TopOnctopon 21446  𝑡clm 21762  ~~>*clsxlim 41975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-neg 10861  df-z 11970  df-uz 12232  df-topgen 16705  df-ordt 16762  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-lm 21765  df-xlim 41976
This theorem is referenced by:  xlimconst2  41992
  Copyright terms: Public domain W3C validator