Theorem xlimmnfmpt 42117

Description: A function converges to plus infinity if it eventually becomes (and stays) larger than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
xlimmnfmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlimmnfmpt.f	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑗,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfmpt

Dummy variables 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnfmpt.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
2		nfmpt1 5156	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)
3	1, 2	nfcxfr 2975	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
4		xlimmnfmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		xlimmnfmpt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		xlimmnfmpt.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		xlimmnfmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	6, 7, 1	fmptdf 6875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	3, 4, 5, 8	xlimmnf 42115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦))
10		nfv 1911	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ 𝑍
11	6, 10	nfan 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
12	5	uztrn2 12256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
13	12	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝜑)
15	14, 13, 7	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	fvmpt2 6773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
17	13, 15, 16	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
18	17	breq1d 5068	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑦))
19	11, 18	ralbida 3230	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
20	19	rexbidva 3296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
21	20	ralbidv 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦))
22		breq2 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵 ≤ 𝑦 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	22	rexralbidv 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥))
24		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
25	24	raleqdv 3415	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
26	25	cbvrexvw 3450	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥)
27	23, 26	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
28	27	cbvralvw 3449	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥)
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝐵 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))
30	9, 21, 29	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  ℝcr 10530  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ~~>*clsxlim 42092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-topgen 16711  df-ordt 16768  df-ps 17804  df-tsr 17805  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-lm 21831  df-xlim 42093

This theorem is referenced by: (None)