Theorem xlimres 42109

Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
xlimres.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
xlimres	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Proof of Theorem xlimres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letopon 21815	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
3		xlimres.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
4		xlimres.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	lmres 21910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴))
6		df-xlim 42107	. . 3 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7	6	breqi 5074	. 2 ⊢ (𝐹~~>*𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
8	6	breqi 5074	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝐴)
9	5, 7, 8	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝐴 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑀))~~>*𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068   ↾ cres 5559  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_pm cpm 8409  ℂcc 10537  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ordTopcordt 16774  TopOnctopon 21520  ⇝_𝑡clm 21836  ~~>*clsxlim 42106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-neg 10875  df-z 11985  df-uz 12247  df-topgen 16719  df-ordt 16776  df-ps 17812  df-tsr 17813  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556  df-lm 21839  df-xlim 42107

This theorem is referenced by:  xlimconst2  42123  xlimclim2lem  42127  climxlim2  42134  xlimresdm  42147  xlimliminflimsup  42150