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Theorem xlt2add 12641
Description: Extended real version of lt2add 11113. Note that ltleadd 11111, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since 0 + +∞ < 1 + +∞ fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt2add (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xlt2add
StepHypRef Expression
1 xaddcl 12620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
213ad2ant1 1125 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
32adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
4 simp1l 1189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2r 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
6 xaddcl 12620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
87adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
9 xaddcl 12620 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1093ad2ant2 1126 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
12 simp3r 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 < 𝐷)
14 simp1r 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
165adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
17 simprl 767 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 xltadd2 12638 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐷 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷)))
2013, 19mpbid 233 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐴 +𝑒 𝐷))
21 simp3l 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < 𝐶)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 < 𝐶)
234adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 simp2l 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
2524adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
26 simprr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
27 xltadd1 12637 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2922, 28mpbid 233 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐷) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
303, 8, 11, 20, 29xrlttrd 12540 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
3130anassrs 468 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
32 pnfxr 10683 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → +∞ ∈ ℝ*)
34 pnfge 12513 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
3524, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≤ +∞)
364, 24, 33, 21, 35xrltletrd 12542 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 < +∞)
37 nltpnft 12545 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
3837necon2abid 3055 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
394, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 < +∞ ↔ 𝐴 ≠ +∞))
4036, 39mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐴 ≠ +∞)
41 pnfge 12513 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≤ +∞)
425, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≤ +∞)
4314, 5, 33, 12, 42xrltletrd 12542 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 < +∞)
44 nltpnft 12545 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 = +∞ ↔ ¬ 𝐵 < +∞))
4544necon2abid 3055 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4614, 45syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐵 < +∞ ↔ 𝐵 ≠ +∞))
4743, 46mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐵 ≠ +∞)
48 xaddnepnf 12618 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
494, 40, 14, 47, 48syl22anc 834 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞)
50 nltpnft 12545 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞))
5150necon2abid 3055 . . . . . . . . 9 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
522, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞ ↔ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ +∞))
5349, 52mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
5453adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < +∞)
55 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝐷 = +∞ → (𝐶 +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 +∞))
56 mnfxr 10686 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ∈ ℝ*)
58 mnfle 12517 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
594, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐴)
6057, 4, 24, 59, 21xrlelttrd 12541 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐶)
61 ngtmnft 12547 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐶))
6261necon2abid 3055 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6324, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐶𝐶 ≠ -∞))
6460, 63mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐶 ≠ -∞)
65 xaddpnf1 12607 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6624, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 +∞) = +∞)
6755, 66sylan9eqr 2875 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐶 +𝑒 𝐷) = +∞)
6854, 67breqtrrd 5085 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
6968adantlr 711 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
70 mnfle 12517 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
7114, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ ≤ 𝐵)
7257, 14, 5, 71, 12xrlelttrd 12541 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < 𝐷)
73 ngtmnft 12547 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℝ* → (𝐷 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐷))
7473necon2abid 3055 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
755, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < 𝐷𝐷 ≠ -∞))
7672, 75mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ -∞)
7776a1d 25 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐷 ≠ -∞))
7877necon4bd 3033 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
7978imp 407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8079adantlr 711 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐷 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
81 elxr 12499 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ* ↔ (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
825, 81sylib 219 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8382adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ∈ ℝ ∨ 𝐷 = +∞ ∨ 𝐷 = -∞))
8431, 69, 80, 83mpjao3dan 1423 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
8540a1d 25 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (¬ (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷) → 𝐴 ≠ +∞))
8685necon4bd 3033 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
8786imp 407 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
88 oveq1 7152 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
89 xaddmnf2 12610 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9014, 47, 89syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
9188, 90sylan9eqr 2875 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
92 xaddnemnf 12617 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
9324, 64, 5, 76, 92syl22anc 834 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
94 ngtmnft 12547 . . . . . . . 8 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 𝐷) = -∞ ↔ ¬ -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
9594necon2abid 3055 . . . . . . 7 ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9610, 95syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (-∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷) ↔ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞))
9793, 96mpbird 258 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9897adantr 481 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ < (𝐶 +𝑒 𝐷))
9991, 98eqbrtrd 5079 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
100 elxr 12499 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
1014, 100sylib 219 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
10284, 87, 99, 101mpjao3dan 1423 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷))
1031023expia 1113 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐷) → (𝐴 +𝑒 𝐵) < (𝐶 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-xneg 12495  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  bldisj  22935  iscau3  23808  xrofsup  30418  xrge0addgt0  30605
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