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Theorem xlt2addrd 29408
Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xlt2addrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xlt2addrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.4 (𝜑𝐵 ≠ -∞)
xlt2addrd.5 (𝜑𝐶 ≠ -∞)
xlt2addrd.6 (𝜑𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
Assertion
Ref Expression
xlt2addrd (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem xlt2addrd
StepHypRef Expression
1 xlt2addrd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10049 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 761 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 0xr 10046 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
6 xaddid1 12031 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
76eqcomd 2627 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
83, 7syl 17 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
91ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 ltpnf 11914 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
119, 10syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
12 simplr 791 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 = +∞)
1311, 12breqtrrd 4651 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
14 0ltpnf 11916 . . . . 5 0 < +∞
15 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
1614, 15syl5breqr 4661 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 < 𝐶)
17 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 𝑐))
1817eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐)))
19 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
2018, 193anbi12d 1397 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
21 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑐 = 0 → (𝐴 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 0))
2221eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0)))
23 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑐 = 0 → (𝑐 < 𝐶 ↔ 0 < 𝐶))
2422, 233anbi13d 1398 . . . . 5 (𝑐 = 0 → ((𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)))
2520, 24rspc2ev 3313 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
263, 5, 8, 13, 16, 25syl113anc 1335 . . 3 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
272ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28 xlt2addrd.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
30 1re 9999 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3130rexri 10057 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 1 ∈ ℝ*)
3332xnegcld 12089 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
3429, 33xaddcld 12090 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
3534xnegcld 12089 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
3627, 35xaddcld 12090 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
371ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
3837renemnfd 10051 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
39 xrnepnf 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
4039biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
4129, 40sylancom 700 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
4241orcomd 403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
43 xlt2addrd.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ≠ -∞)
4443ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
4544neneqd 2795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
46 pm2.53 388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 = -∞ → 𝐶 ∈ ℝ))
4742, 45, 46sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
48 rexsub 12023 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
4947, 30, 48sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
50 resubcl 10305 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
5147, 30, 50sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
5249, 51eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
53 rexneg 12001 . . . . . . . . 9 ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
5552renegcld 10417 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
5654, 55eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
5756renemnfd 10051 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
5852renemnfd 10051 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
59 xaddass 12038 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
6027, 38, 35, 57, 34, 58, 59syl222anc 1339 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
61 xaddcom 12030 . . . . . . . 8 ((-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
6235, 34, 61syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
63 xnegid 12028 . . . . . . . 8 ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
6434, 63syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
6562, 64eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
6665oveq2d 6631 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
6727, 6syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
6860, 66, 673eqtrrd 2660 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
6937, 51resubcld 10418 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ)
70 ltpnf 11914 . . . . . 6 ((𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
7169, 70syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
72 rexsub 12023 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
7337, 52, 72syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
7449oveq2d 6631 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
7573, 74eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
76 simplr 791 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 = +∞)
7771, 75, 763brtr4d 4655 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵)
7847ltm1d 10916 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) < 𝐶)
7949, 78eqbrtrd 4645 . . . 4 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)
80 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐))
8180eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐)))
82 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵))
8381, 823anbi12d 1397 . . . . 5 (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
84 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
8584eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
86 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶))
8785, 863anbi13d 1398 . . . . 5 (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)))
8883, 87rspc2ev 3313 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
8936, 34, 68, 77, 79, 88syl113anc 1335 . . 3 (((𝜑𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
9026, 89pm2.61dane 2877 . 2 ((𝜑𝐵 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
91 xlt2addrd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9291ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9331a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 1 ∈ ℝ*)
9493xnegcld 12089 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
9592, 94xaddcld 12090 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
962ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9795xnegcld 12089 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
9896, 97xaddcld 12090 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
99 xaddcom 12030 . . . . . 6 (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
10095, 98, 99syl2anc 692 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
1011ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
102101renemnfd 10051 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
103 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
104 xrnepnf 11912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
105104biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
10692, 103, 105syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
107106orcomd 403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
108 xlt2addrd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ≠ -∞)
109108ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
110109neneqd 2795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
111 pm2.53 388 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
112107, 110, 111sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
113 rexsub 12023 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
114112, 30, 113sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
115 resubcl 10305 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
116112, 30, 115sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
117114, 116eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
118 rexneg 12001 . . . . . . . . 9 ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
119117, 118syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
120117renegcld 10417 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
121119, 120eqeltrd 2698 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
122121renemnfd 10051 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
123117renemnfd 10051 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
124 xaddass 12038 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
12596, 102, 97, 122, 95, 123, 124syl222anc 1339 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
126 xaddcom 12030 . . . . . . . . 9 ((-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
12797, 95, 126syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
128 xnegid 12028 . . . . . . . . 9 ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
12995, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
130127, 129eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
131130oveq2d 6631 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
13296, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
133131, 132eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = 𝐴)
134100, 125, 1333eqtrrd 2660 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
135112ltm1d 10916 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
136114, 135eqbrtrd 4645 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵)
137101, 116resubcld 10418 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
138 ltpnf 11914 . . . . . 6 ((𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
139137, 138syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
140 rexsub 12023 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
141101, 117, 140syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
142114oveq2d 6631 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
143141, 142eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
144 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
145139, 143, 1443brtr4d 4655 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)
146 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐))
147146eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐)))
148 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵))
149147, 1483anbi12d 1397 . . . . 5 (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
150 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
151150eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))))
152 breq1 4626 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶))
153151, 1523anbi13d 1398 . . . . 5 (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)))
154149, 153rspc2ev 3313 . . . 4 (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
15595, 98, 134, 136, 145, 154syl113anc 1335 . . 3 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
1561ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
15791ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
158 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
159157, 158, 105syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
160159orcomd 403 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
161108ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
162161neneqd 2795 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
163160, 162, 111sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
16428ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
165164, 40sylancom 700 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
166165orcomd 403 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
16743ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
168167neneqd 2795 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
169166, 168, 46sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
170 xlt2addrd.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
171170ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
172 rexadd 12022 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
173163, 169, 172syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
174171, 173breqtrd 4649 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
175156, 163, 169, 174lt2addrd 29399 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
176 rexadd 12022 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
177176eqeq2d 2631 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝑏 + 𝑐)))
1781773anbi1d 1400 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
1791782rexbiia 3050 . . . . 5 (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
180175, 179sylibr 224 . . . 4 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
181 ressxr 10043 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
182 ssrexv 3652 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
183181, 182ax-mp 5 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
184183reximi 3007 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
185 ssrexv 3652 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶)))
186181, 185ax-mp 5 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
187180, 184, 1863syl 18 . . 3 (((𝜑𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
188155, 187pm2.61dane 2877 . 2 ((𝜑𝐵 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
18990, 188pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ*𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵𝑐 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  wss 3560   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  cmin 10226  -cneg 10227  -𝑒cxne 11903   +𝑒 cxad 11904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-2 11039  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907
This theorem is referenced by:  xrofsup  29418
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