MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetcl 22868
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 22866 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 fovrn 7307 . 2 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
31, 2syl3an1 1155 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079  wcel 2105   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  *cxr 10662  ∞Metcxmet 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-xr 10667  df-xmet 20466
This theorem is referenced by:  xmetge0  22881  xmetlecl  22883  xmetsym  22884  xmetrtri  22892  xmetrtri2  22893  xmetgt0  22895  prdsdsf  22904  prdsxmetlem  22905  imasdsf1olem  22910  imasf1oxmet  22912  xpsdsval  22918  xblpnf  22933  bldisj  22935  blgt0  22936  xblss2  22939  blhalf  22942  xbln0  22951  blin  22958  blss  22962  xmscl  22999  prdsbl  23028  blsscls2  23041  blcld  23042  blcls  23043  comet  23050  stdbdxmet  23052  stdbdmet  23053  stdbdbl  23054  tmsxpsval2  23076  metcnpi3  23083  txmetcnp  23084  xrsmopn  23347  metdcnlem  23371  metdsf  23383  metdsge  23384  metdstri  23386  metdsle  23387  metdscnlem  23390  metnrmlem1  23394  metnrmlem3  23396  lmnn  23793  iscfil2  23796  iscau3  23808  dvlip2  24519  heicant  34808
  Copyright terms: Public domain W3C validator