MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetcl 22076
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 22074 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 fovrn 6769 . 2 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
31, 2syl3an1 1356 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036  wcel 1987   × cxp 5082  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  *cxr 10033  ∞Metcxmt 19671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-map 7819  df-xr 10038  df-xmet 19679
This theorem is referenced by:  xmetge0  22089  xmetlecl  22091  xmetsym  22092  xmetrtri  22100  xmetrtri2  22101  xmetgt0  22103  prdsdsf  22112  prdsxmetlem  22113  imasdsf1olem  22118  imasf1oxmet  22120  xpsdsval  22126  xblpnf  22141  bldisj  22143  blgt0  22144  xblss2  22147  blhalf  22150  xbln0  22159  blin  22166  blss  22170  xmscl  22207  prdsbl  22236  blsscls2  22249  blcld  22250  blcls  22251  comet  22258  stdbdxmet  22260  stdbdmet  22261  stdbdbl  22262  tmsxpsval2  22284  metcnpi3  22291  txmetcnp  22292  xrsmopn  22555  metdcnlem  22579  metdsf  22591  metdsge  22592  metdstri  22594  metdsle  22595  metdscnlem  22598  metnrmlem1  22602  metnrmlem3  22604  lmnn  23001  iscfil2  23004  iscau3  23016  dvlip2  23696  heicant  33115
  Copyright terms: Public domain W3C validator