MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetdmdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetdmdm 22050
Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetdmdm (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem xmetdmdm
StepHypRef Expression
1 xmetf 22044 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 fdm 6008 . . . 4 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
43dmeqd 5286 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
5 dmxpid 5305 . 2 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
64, 5syl6req 2672 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   × cxp 5072  dom cdm 5074  wf 5843  cfv 5847  *cxr 10017  ∞Metcxmt 19650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-map 7804  df-xr 10022  df-xmet 19658
This theorem is referenced by:  metdmdm  22051  xmetunirn  22052  cfilfval  22970
  Copyright terms: Public domain W3C validator