MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetge0 22059
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simp2 1060 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
3 simp3 1061 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
4 xmettri2 22055 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1325 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
6 xmet0 22057 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
763adant2 1078 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝐷𝐵) = 0)
8 2re 11034 . . . . 5 2 ∈ ℝ
9 rexr 10029 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ*)
10 xmul01 12040 . . . . 5 (2 ∈ ℝ* → (2 ·e 0) = 0)
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4 (2 ·e 0) = 0
127, 11syl6reqr 2674 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) = (𝐵𝐷𝐵))
13 xmetcl 22046 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
14 x2times 12072 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
1513, 14syl 17 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐴𝐷𝐵)))
165, 12, 153brtr4d 4645 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵)))
17 0xr 10030 . . . 4 0 ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
19 2rp 11781 . . . 4 2 ∈ ℝ+
2019a1i 11 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 2 ∈ ℝ+)
21 xlemul2 12064 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2218, 13, 20, 21syl3anc 1323 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (2 ·e 0) ≤ (2 ·e (𝐴𝐷𝐵))))
2316, 22mpbird 247 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  *cxr 10017  cle 10019  2c2 11014  +crp 11776   +𝑒 cxad 11888   ·e cxmu 11889  ∞Metcxmt 19650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-xmet 19658
This theorem is referenced by:  metge0  22060  xmetlecl  22061  xmetrtri  22070  xmetgt0  22073  prdsxmetlem  22083  imasdsf1olem  22088  xpsdsval  22096  xblpnf  22111  blgt0  22114  xblss2  22117  xbln0  22129  xmsge0  22178  comet  22228  stdbdxmet  22230  stdbdmet  22231  xrsmopn  22523  metdsf  22559  metdstri  22562  metdscnlem  22566  iscfil2  22972  heicant  33073
  Copyright terms: Public domain W3C validator