MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetrtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetrtri 22070
Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetrtri ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri
StepHypRef Expression
1 3ancomb 1045 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) ↔ (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐵𝑋))
2 xmettri 22066 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐶𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
31, 2sylan2b 492 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶)))
4 xmetcl 22046 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
543adant3r2 1272 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
6 xmetcl 22046 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
763adant3r1 1271 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
8 xmetcl 22046 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
983adant3r3 1273 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
10 xmetge0 22059 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
11103adant3r2 1272 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐶))
12 xmetge0 22059 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
13123adant3r1 1271 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶))
14 ge0nemnf 11947 . . . 4 (((𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐵𝐷𝐶)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
157, 13, 14syl2anc 692 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞)
16 xmetge0 22059 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
17163adant3r3 1273 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18 xlesubadd 12036 . . 3 ((((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐶) ∧ (𝐵𝐷𝐶) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
195, 7, 9, 11, 15, 17, 18syl33anc 1338 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐴𝐷𝐶) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐵𝐷𝐶))))
203, 19mpbird 247 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  -∞cmnf 10016  *cxr 10017  cle 10019  -𝑒cxne 11887   +𝑒 cxad 11888  ∞Metcxmt 19650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-xmet 19658
This theorem is referenced by:  xmetrtri2  22071
  Copyright terms: Public domain W3C validator