Theorem xmetrtri2 22071

Description: The reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. In order to express the "extended absolute value function", we use the distance function xrsdsval 19709 defined on the extended real structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmetrtri2.1	⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xmetrtri2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem xmetrtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetcl 22046	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
2	1	3adant3r2 1272	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
3		xmetcl 22046	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
4	3	3adant3r1 1271	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*)
5		xmetrtri2.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (dist‘ℝ*𝑠)
6	5	xrsdsval 19709	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
7	2, 4, 6	syl2anc 692	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))))
8		3ancoma 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
9		xmetrtri 22070	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
10	8, 9	sylan2b 492	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐷𝐴))
11		xmetsym 22062	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
12	11	3adant3r3 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
13	10, 12	breqtrrd 4641	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
14		xmetrtri 22070	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
15		breq1 4616	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
16		breq1 4616	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) = if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) → (((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4096	. . 3 ⊢ ((((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
18	13, 14, 17	syl2anc 692	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → if((𝐴𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐷𝐶), ((𝐵𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐴𝐷𝐶)), ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 -𝑒(𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
19	7, 18	eqbrtrd 4635	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)𝐾(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ifcif 4058   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝ^*cxr 10017   ≤ cle 10019  -_𝑒cxne 11887   +_𝑒 cxad 11888  distcds 15871  ℝ^*_𝑠cxrs 16081  ∞Metcxmt 19650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-xrs 16083  df-xmet 19658

This theorem is referenced by:  metrtri  22072  metdcnlem  22547