MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmettri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmettri 22137
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmettri
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simpr3 1067 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
3 simpr1 1065 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
4 simpr2 1066 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
5 xmettri2 22126 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1326 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
7 xmetsym 22133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶𝑋𝐴𝑋) → (𝐶𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐶))
81, 2, 3, 7syl3anc 1324 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐶))
98oveq1d 6650 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
106, 9breqtrd 4670 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cle 10060   +𝑒 cxad 11929  ∞Metcxmt 19712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-xadd 11932  df-xmet 19720
This theorem is referenced by:  xmettri3  22139  xmetrtri  22141  imasdsf1olem  22159  xmeter  22219  xmstri  22254  metdcnlem  22620  iscau3  23057  heicant  33415
  Copyright terms: Public domain W3C validator