MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulid1 11938
Description: Extended real version of mulid1 9893. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulid1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)

Proof of Theorem xmulid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11785 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 rexmul 11930 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
42, 3mpan2 702 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = (𝐴 · 1))
5 ax-1rid 9862 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
64, 5eqtrd 2643 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
72rexri 9948 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
8 0lt1 10399 . . . . 5 0 < 1
9 xmulpnf2 11934 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (+∞ ·e 1) = +∞)
107, 8, 9mp2an 703 . . . 4 (+∞ ·e 1) = +∞
11 oveq1 6534 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = (+∞ ·e 1))
12 id 22 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1310, 11, 123eqtr4a 2669 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
14 xmulmnf2 11936 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞ ·e 1) = -∞)
157, 8, 14mp2an 703 . . . 4 (-∞ ·e 1) = -∞
16 oveq1 6534 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = (-∞ ·e 1))
17 id 22 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
1815, 16, 173eqtr4a 2669 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
196, 13, 183jaoi 1382 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
201, 19sylbi 205 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930   ·e cxmu 11777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-xneg 11778  df-xmul 11780
This theorem is referenced by:  xmulid2  11939  xlemul1  11949  xrsmcmn  19534  nmoi2  22276  xdivrec  28772  omssubadd  29495
  Copyright terms: Public domain W3C validator