MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulpnf1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulpnf1n 12067
Description: Multiplication by plus infinity on the right, for negative input. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulpnf1n ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)

Proof of Theorem xmulpnf1n
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 pnfxr 10052 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
3 xmulneg1 12058 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
41, 2, 3sylancl 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = -𝑒(𝐴 ·e +∞))
5 xnegcl 12003 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7 xlt0neg1 12009 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝑒𝐴))
87biimpa 501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 < -𝑒𝐴)
9 xmulpnf1 12063 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < -𝑒𝐴) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
106, 8, 9syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒𝐴 ·e +∞) = +∞)
114, 10eqtr3d 2657 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = +∞)
12 xnegmnf 12000 . . 3 -𝑒-∞ = +∞
1311, 12syl6eqr 2673 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞)
14 xmulcl 12062 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
151, 2, 14sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ*)
16 mnfxr 10056 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
17 xneg11 12005 . . 3 (((𝐴 ·e +∞) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1815, 16, 17sylancl 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-𝑒(𝐴 ·e +∞) = -𝑒-∞ ↔ (𝐴 ·e +∞) = -∞))
1913, 18mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (𝐴 ·e +∞) = -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  -𝑒cxne 11903   ·e cxmu 11905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-xneg 11906  df-xmul 11908
This theorem is referenced by:  xlemul1a  12077
  Copyright terms: Public domain W3C validator