MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegcl 11987
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 11894 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 11985 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 renegcl 10288 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
42, 3eqeltrd 2698 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
54rexrd 10033 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
6 xnegeq 11981 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 11983 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 10040 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
97, 8eqeltri 2694 . . . 4 -𝑒+∞ ∈ ℝ*
106, 9syl6eqel 2706 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
11 xnegeq 11981 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 11984 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 10036 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1412, 13eqeltri 2694 . . . 4 -𝑒-∞ ∈ ℝ*
1511, 14syl6eqel 2706 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
165, 10, 153jaoi 1388 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
171, 16sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  cr 9879  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017  -cneg 10211  -𝑒cxne 11887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-xneg 11890
This theorem is referenced by:  xltneg  11991  xleneg  11992  xnegdi  12021  xaddass2  12023  xleadd1  12028  xsubge0  12034  xposdif  12035  xlesubadd  12036  xmulneg1  12042  xmulneg2  12043  xmulpnf1n  12051  xmulasslem  12058  xnegcld  12073  xrsds  19708  xrsxmet  22520  xrhmeo  22653  xaddeq0  29361  xrsinvgval  29462  xrge0npcan  29479
  Copyright terms: Public domain W3C validator