MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnegdi 12028
Description: Extended real version of xnegdi 12028. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegdi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))

Proof of Theorem xnegdi
StepHypRef Expression
1 elxr 11901 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 11901 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 recn 9977 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 9977 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 negdi 10289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
63, 4, 5syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
7 readdcl 9970 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexneg 11992 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = -(𝐴 + 𝐵))
10 renegcl 10295 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
11 renegcl 10295 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
12 rexadd 12013 . . . . . . . 8 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
1310, 11, 12syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 +𝑒 -𝐵) = (-𝐴 + -𝐵))
146, 9, 133eqtr4d 2665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 + 𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
15 rexadd 12013 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16 xnegeq 11988 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(𝐴 + 𝐵))
18 rexneg 11992 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
19 rexneg 11992 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
2018, 19oveqan12d 6629 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝐴 +𝑒 -𝐵))
2114, 17, 203eqtr4d 2665 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
22 xnegpnf 11990 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
23 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
24 rexr 10036 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 renemnf 10039 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
26 xaddpnf1 12007 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2724, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2823, 27sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
29 xnegeq 11988 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
31 xnegeq 11988 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
3231, 22syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
3332oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞))
3418, 10eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
35 rexr 10036 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
36 renepnf 10038 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ +∞)
37 xaddmnf1 12009 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3835, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4033, 39sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
4122, 30, 403eqtr4a 2681 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
42 xnegmnf 11991 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
43 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 -∞))
44 renepnf 10038 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
45 xaddmnf1 12009 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4624, 44, 45syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 +𝑒 -∞) = -∞)
4743, 46sylan9eqr 2677 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
48 xnegeq 11988 . . . . . . 7 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
4947, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
50 xnegeq 11988 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
5150, 42syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝐵 = -∞ → -𝑒𝐵 = +∞)
5251oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝐵 = -∞ → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞))
53 renemnf 10039 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ≠ -∞)
54 xaddpnf1 12007 . . . . . . . . 9 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ≠ -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5535, 53, 54syl2anc 692 . . . . . . . 8 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5634, 55syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝑒𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
5752, 56sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
5842, 49, 573eqtr4a 2681 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
5921, 41, 583jaodan 1391 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
602, 59sylan2b 492 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
61 xneg0 11993 . . . . . . 7 -𝑒0 = 0
62 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
6362oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
64 pnfaddmnf 12011 . . . . . . . . 9 (+∞ +𝑒 -∞) = 0
6563, 64syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = 0)
66 xnegeq 11988 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
6851adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒𝐵 = +∞)
6968oveq2d 6626 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
70 mnfaddpnf 12012 . . . . . . . 8 (-∞ +𝑒 +∞) = 0
7169, 70syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
7261, 67, 713eqtr4a 2681 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
73 xaddpnf2 12008 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
74 xnegeq 11988 . . . . . . . 8 ((+∞ +𝑒 𝐵) = +∞ → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒+∞)
76 xnegcl 11994 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7776adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
78 xnegeq 11988 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
7978, 22syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -∞)
80 xnegneg 11995 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
8180eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = -∞ ↔ 𝐵 = -∞))
8279, 81syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = +∞ → 𝐵 = -∞))
8382necon3d 2811 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ -∞ → -𝑒𝐵 ≠ +∞))
8483imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒𝐵 ≠ +∞)
85 xaddmnf2 12010 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8677, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = -∞)
8722, 75, 863eqtr4a 2681 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
8872, 87pm2.61dane 2877 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
8988adantl 482 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
90 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
9190oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
92 xnegeq 11988 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
9391, 92syl 17 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(+∞ +𝑒 𝐵))
94 xnegeq 11988 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
9695, 22syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -∞)
9796oveq1d 6625 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
9889, 93, 973eqtr4d 2665 . . 3 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
99 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → 𝐵 = +∞)
10099oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 +∞))
101100, 70syl6eq 2671 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = 0)
102 xnegeq 11988 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = 0 → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒0)
10432adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
105104oveq2d 6626 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -∞))
106105, 64syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = 0)
10761, 103, 1063eqtr4a 2681 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 = +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
108 xaddmnf2 12010 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
109 xnegeq 11988 . . . . . . . 8 ((-∞ +𝑒 𝐵) = -∞ → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
110108, 109syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = -𝑒-∞)
11176adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
112 xnegeq 11988 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = -𝑒-∞)
113112, 42syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐵 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐵 = +∞)
11480eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒-𝑒𝐵 = +∞ ↔ 𝐵 = +∞))
115113, 114syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐵 = -∞ → 𝐵 = +∞))
116115necon3d 2811 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ≠ +∞ → -𝑒𝐵 ≠ -∞))
117116imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒𝐵 ≠ -∞)
118 xaddpnf2 12008 . . . . . . . 8 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
119111, 117, 118syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵) = +∞)
12042, 110, 1193eqtr4a 2681 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
121107, 120pm2.61dane 2877 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
122121adantl 482 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
123 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -∞)
124123oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
125 xnegeq 11988 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
126124, 125syl 17 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = -𝑒(-∞ +𝑒 𝐵))
127 xnegeq 11988 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
128127adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
129128, 42syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = +∞)
130129oveq1d 6625 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = (+∞ +𝑒 -𝑒𝐵))
131122, 126, 1303eqtr4d 2665 . . 3 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
13260, 98, 1313jaoian 1390 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
1331, 132sylanb 489 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890  +∞cpnf 10022  -∞cmnf 10023  *cxr 10024  -cneg 10218  -𝑒cxne 11894   +𝑒 cxad 11895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-sub 10219  df-neg 10220  df-xneg 11897  df-xadd 11898
This theorem is referenced by:  xaddass2  12030  xposdif  12042  xadddi  12075  xrsxmet  22531
  Copyright terms: Public domain W3C validator