Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0n0n1ge2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0n0n1ge2b 11909
 Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
xnn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11309 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
2 nn0n0n1ge2b 11303 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3 0nn0 11251 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
4 nn0nepnf 11315 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≠ +∞
65necomi 2844 . . . . . 6 +∞ ≠ 0
7 neeq1 2852 . . . . . 6 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
86, 7mpbiri 248 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9 1nn0 11252 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
10 nn0nepnf 11315 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ≠ +∞
1211necomi 2844 . . . . . 6 +∞ ≠ 1
13 neeq1 2852 . . . . . 6 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
1412, 13mpbiri 248 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
158, 14jca 554 . . . 4 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16 2re 11034 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
1716rexri 10041 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
18 pnfge 11908 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 2 ≤ +∞
20 breq2 4617 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
2119, 20mpbiri 248 . . . 4 (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
2215, 212thd 255 . . 3 (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
232, 22jaoi 394 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
241, 23sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613  0cc0 9880  1c1 9881  +∞cpnf 10015  ℝ*cxr 10017   ≤ cle 10019  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℕ0*cxnn0 11307 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308 This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  27026
 Copyright terms: Public domain W3C validator