Theorem xnn0xrge0 12363

Description: An extended nonnegative integer is an extended nonnegative real. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xrge0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xnn0xrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 11403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞))
2		nn0re 11339	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	rexrd 10127	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		nn0ge0 11356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
5		elxrge0 12319	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
7		0xr 10124	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 10130	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		0lepnf 12004	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
10		ubicc2 12327	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
11	7, 8, 9, 10	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
12		eleq1 2718	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ +∞ ∈ (0[,]+∞)))
13	11, 12	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
14	6, 13	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∨ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
15	1, 14	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  ℝ^*cxr 10111   ≤ cle 10113  ℕ₀cn0 11330  ℕ₀^*cxnn0 11401  [,]cicc 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-icc 12220

This theorem is referenced by: (None)