MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xov1plusxeqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xov1plusxeqvd 12145
Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xov1plusxeqvd.1 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2 (𝜑𝑋 ≠ -1)
Assertion
Ref Expression
xov1plusxeqvd (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
21rpred 11704 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3 1rp 11668 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
54, 1rpaddcld 11719 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
62, 5rerpdivcld 11735 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
75rprecred 11715 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8 1red 9911 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9 0red 9897 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
108, 2readdcld 9925 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
118, 1ltaddrpd 11737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12 recgt1i 10769 . . . . . . . 8 (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1310, 11, 12syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
1413simprd 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15 1m0e1 10978 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
1614, 15syl6breqr 4619 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
177, 8, 9, 16ltsub13d 10482 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18 1cnd 9912 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19 xov1plusxeqvd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 9915 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
2118negcld 10230 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22 xov1plusxeqvd.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≠ -1)
2318, 19, 21, 22addneintrd 10094 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24 1pneg1e0 10976 . . . . . . . . 9 (1 + -1) = 0
2524a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + -1) = 0)
2623, 25neeqtrd 2850 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
2720, 18, 20, 26divsubdird 10689 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
2818, 19pncan2d 10245 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
2928oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
3020, 26dividd 10648 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
3130oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3227, 29, 313eqtr3d 2651 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3332adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
3417, 33breqtrrd 4605 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35 1m1e0 10936 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3613simpld 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
3735, 36syl5eqbr 4612 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
388, 8, 7, 37ltsub23d 10481 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
3933, 38eqbrtrd 4599 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40 0xr 9942 . . . 4 0 ∈ ℝ*
41 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
4241rexri 9948 . . . 4 1 ∈ ℝ*
43 elioo2 12043 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
4440, 42, 43mp2an 703 . . 3 ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
456, 34, 39, 44syl3anbrc 1238 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
4628adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
4720adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
4826adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
4947, 48recrecd 10647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
5020, 19, 20, 26divsubdird 10689 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5118, 19pncand 10244 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
5251oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
5330oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5450, 52, 533eqtr3d 2651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
5554adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
56 1red 9911 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
57 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
5857, 44sylib 206 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
5958simp1d 1065 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
6056, 59resubcld 10309 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6155, 60eqeltrd 2687 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
62 0red 9897 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
6358simp3d 1067 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
6463, 15syl6breqr 4619 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
6559, 56, 62, 64ltsub13d 10482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
6665, 55breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
6761, 66elrpd 11701 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
6867rprecred 11715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
6949, 68eqeltrrd 2688 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
7069, 56resubcld 10309 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
7146, 70eqeltrrd 2688 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
72 1p0e1 10980 . . . . 5 (1 + 0) = 1
7358simp2d 1066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7435, 73syl5eqbr 4612 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
7556, 56, 59, 74ltsub23d 10481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
7655, 75eqbrtrd 4599 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
7767reclt1d 11717 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
7876, 77mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
7978, 49breqtrd 4603 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
8072, 79syl5eqbr 4612 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
8162, 71, 56ltadd2d 10044 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
8280, 81mpbird 245 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
8371, 82elrpd 11701 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
8445, 83impbida 872 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  +crp 11664  (,)cioo 12002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-rp 11665  df-ioo 12006
This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  24272
  Copyright terms: Public domain W3C validator