Theorem xov1plusxeqvd 12878

Description: A complex number 𝑋 is positive real iff 𝑋 / (1 + 𝑋) is in (0(,)1). Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xov1plusxeqvd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
xov1plusxeqvd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)

Assertion

Ref	Expression
xov1plusxeqvd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Proof of Theorem xov1plusxeqvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
3		1rp 12387	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
5	4, 1	rpaddcld 12440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ+)
6	2, 5	rerpdivcld 12456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
7	5	rprecred 12436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
8		1red 10636	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
9		0red 10638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
10	8, 2	readdcld 10664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
11	8, 1	ltaddrpd 12458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑋))
12		recgt1i 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 + 𝑋) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 + 𝑋)) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
13	10, 11, 12	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (0 < (1 / (1 + 𝑋)) ∧ (1 / (1 + 𝑋)) < 1))
14	13	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
15		1m0e1 11752	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
16	14, 15	breqtrrdi 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
17	7, 8, 9, 16	ltsub13d 11240	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
18		1cnd 10630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19		xov1plusxeqvd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 10654	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
21	18	negcld 10978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
22		xov1plusxeqvd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ -1)
23	18, 19, 21, 22	addneintrd 10841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ (1 + -1))
24		1pneg1e0 11750	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + -1) = 0
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
26	23, 25	neeqtrd 3085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑋) ≠ 0)
27	20, 18, 20, 26	divsubdird 11449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))))
28	18, 19	pncan2d 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
29	28	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 1) / (1 + 𝑋)) = (𝑋 / (1 + 𝑋)))
30	20, 26	dividd 11408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) = 1)
31	30	oveq1d 7165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (1 / (1 + 𝑋))) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
32	27, 29, 31	3eqtr3d 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
33	32	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) = (1 − (1 / (1 + 𝑋))))
34	17, 33	breqtrrd 5086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
35		1m1e0 11703	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
36	13	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
37	35, 36	eqbrtrid 5093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − 1) < (1 / (1 + 𝑋)))
38	8, 8, 7, 37	ltsub23d 11239	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (1 − (1 / (1 + 𝑋))) < 1)
39	33, 38	eqbrtrd 5080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
40		0xr 10682	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		1xr 10694	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
42		elioo2 12773	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)))
43	40, 41, 42	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
44	6, 34, 39, 43	syl3anbrc 1339	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
45	28	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) = 𝑋)
46	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℂ)
47	26	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ≠ 0)
48	46, 47	recrecd 11407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) = (1 + 𝑋))
49	20, 19, 20, 26	divsubdird 11449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
50	18, 19	pncand 10992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑋) − 𝑋) = 1)
51	50	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) − 𝑋) / (1 + 𝑋)) = (1 / (1 + 𝑋)))
52	30	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 + 𝑋) / (1 + 𝑋)) − (𝑋 / (1 + 𝑋))) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
53	49, 51, 52	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
54	53	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) = (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
55		1red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
56		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1))
57	56, 43	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1))
58	57	simp1d 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
59	55, 58	resubcld 11062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
60	54, 59	eqeltrd 2913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ)
61		0red 10638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
62	57	simp3d 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < 1)
63	62, 15	breqtrrdi 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (𝑋 / (1 + 𝑋)) < (1 − 0))
64	58, 55, 61, 63	ltsub13d 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))))
65	64, 54	breqtrrd 5086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (1 / (1 + 𝑋)))
66	60, 65	elrpd 12422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) ∈ ℝ+)
67	66	rprecred 12436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 / (1 + 𝑋))) ∈ ℝ)
68	48, 67	eqeltrrd 2914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 𝑋) ∈ ℝ)
69	68, 55	resubcld 11062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 + 𝑋) − 1) ∈ ℝ)
70	45, 69	eqeltrrd 2914	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
71		1p0e1 11755	. . . . 5 ⊢ (1 + 0) = 1
72	57	simp2d 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
73	35, 72	eqbrtrid 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − 1) < (𝑋 / (1 + 𝑋)))
74	55, 55, 58, 73	ltsub23d 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 − (𝑋 / (1 + 𝑋))) < 1)
75	54, 74	eqbrtrd 5080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 / (1 + 𝑋)) < 1)
76	66	reclt1d 12438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → ((1 / (1 + 𝑋)) < 1 ↔ 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋)))))
77	75, 76	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 / (1 / (1 + 𝑋))))
78	77, 48	breqtrd 5084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 1 < (1 + 𝑋))
79	71, 78	eqbrtrid 5093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (1 + 0) < (1 + 𝑋))
80	61, 70, 55	ltadd2d 10790	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑋 ↔ (1 + 0) < (1 + 𝑋)))
81	79, 80	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑋)
82	70, 81	elrpd 12422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
83	44, 82	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ↔ (𝑋 / (1 + 𝑋)) ∈ (0(,)1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-rp 12384  df-ioo 12736

This theorem is referenced by:  angpieqvdlem  25400