MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpen 8164
Description: Equinumerosity law for Cartesian product. Proposition 4.22(b) of [Mendelson] p. 254. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))

Proof of Theorem xpen
StepHypRef Expression
1 relen 8002 . . . . 5 Rel ≈
21brrelexi 5192 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶 ∈ V)
3 endom 8024 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
4 xpdom1g 8098 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
52, 3, 4syl2anr 494 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
61brrelex2i 5193 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 endom 8024 . . . 4 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
8 xpdom2g 8097 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
96, 7, 8syl2an 493 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
10 domtr 8050 . . 3 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶) ∧ (𝐵 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
115, 9, 10syl2anc 694 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷))
121brrelex2i 5193 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷 ∈ V)
13 ensym 8046 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
14 endom 8024 . . . . 5 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
16 xpdom1g 8098 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
1712, 15, 16syl2anr 494 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷))
181brrelexi 5192 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
19 ensym 8046 . . . . 5 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
20 endom 8024 . . . . 5 (𝐷𝐶𝐷𝐶)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝐶𝐷𝐷𝐶)
22 xpdom2g 8097 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2318, 21, 22syl2an 493 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
24 domtr 8050 . . 3 (((𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐷) ∧ (𝐴 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
2517, 23, 24syl2anc 694 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶))
26 sbth 8121 . 2 (((𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐷) ∧ (𝐵 × 𝐷) ≼ (𝐴 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
2711, 25, 26syl2anc 694 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐵 × 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   × cxp 5141  cen 7994  cdom 7995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999
This theorem is referenced by:  map2xp  8171  unxpdom2  8209  sucxpdom  8210  xpnum  8815  infxpenlem  8874  infxpidm2  8878  xpcdaen  9043  mapcdaen  9044  pwcdaen  9045  cdaxpdom  9049  ackbij1lem5  9084  canthp1lem1  9512  xpnnen  14983  qnnen  14986  rexpen  15001  met2ndci  22374  re2ndc  22651  dyadmbl  23414  opnmblALT  23417  mbfimaopnlem  23467  mblfinlem1  33576
  Copyright terms: Public domain W3C validator