MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpex 6837
Description: The Cartesian product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
xpex.1 𝐴 ∈ V
xpex.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
xpex (𝐴 × 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem xpex
StepHypRef Expression
1 xpex.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 xpex.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 xpexg 6835 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
41, 2, 3mp2an 703 1 (𝐴 × 𝐵) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  Vcvv 3172   × cxp 5025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-opab 4638  df-xp 5033  df-rel 5034
This theorem is referenced by:  oprabex  7024  oprabex3  7025  fnpm  7729  mapsnf1o2  7768  ixpsnf1o  7811  xpsnen  7906  endisj  7909  xpcomen  7913  xpassen  7916  xpmapenlem  7989  mapunen  7991  unxpdomlem3  8028  hartogslem1  8307  rankxpl  8598  rankfu  8600  rankmapu  8601  rankxplim  8602  rankxplim2  8603  rankxplim3  8604  rankxpsuc  8605  r0weon  8695  infxpenlem  8696  infxpenc2lem2  8703  dfac3  8804  dfac5lem2  8807  dfac5lem3  8808  dfac5lem4  8809  cdafn  8851  unctb  8887  axcc2lem  9118  axdc3lem  9132  axdc4lem  9137  enqex  9600  nqex  9601  enrex  9744  axcnex  9824  zexALT  11231  cnexALT  11662  addex  11664  mulex  11665  ixxex  12015  shftfval  13606  climconst2  14075  cpnnen  14745  ruclem13  14758  cnso  14763  prdsval  15886  prdsplusg  15889  prdsmulr  15890  prdsvsca  15891  prdsle  15893  prdsds  15895  prdshom  15898  prdsco  15899  fnmrc  16038  mrcfval  16039  mreacs  16090  comfffval  16129  oppccofval  16147  sectfval  16182  brssc  16245  sscpwex  16246  isssc  16251  isfunc  16295  isfuncd  16296  idfu2nd  16308  idfu1st  16310  idfucl  16312  wunfunc  16330  fuccofval  16390  homafval  16450  homaf  16451  homaval  16452  coapm  16492  catccofval  16521  catcfuccl  16530  xpcval  16588  xpcbas  16589  xpchom  16591  xpccofval  16593  1stfval  16602  2ndfval  16605  1stfcl  16608  2ndfcl  16609  catcxpccl  16618  evlf2  16629  evlf1  16631  evlfcl  16633  hof1fval  16664  hof2fval  16666  hofcl  16670  ipoval  16925  letsr  16998  plusffval  17018  frmdplusg  17162  eqgfval  17413  efglem  17900  efgval  17901  scaffval  18652  psrplusg  19150  ltbval  19240  opsrle  19244  evlslem2  19281  evlssca  19291  mpfind  19305  evls1sca  19457  pf1ind  19488  cnfldds  19525  xrsadd  19530  xrsmul  19531  xrsle  19533  xrsds  19556  znle  19650  ipffval  19759  pjfval  19816  mat1dimmul  20048  2ndcctbss  21015  txuni2  21125  txbas  21127  eltx  21128  txcnp  21180  txcnmpt  21184  txrest  21191  txlm  21208  tx1stc  21210  tx2ndc  21211  txkgen  21212  txflf  21567  cnextfval  21623  distgp  21660  indistgp  21661  ustfn  21762  ustn0  21781  ussid  21821  ressuss  21824  ishtpy  22526  isphtpc  22548  elovolm  22994  elovolmr  22995  ovolmge0  22996  ovolgelb  22999  ovolunlem1a  23015  ovolunlem1  23016  ovoliunlem1  23021  ovoliunlem2  23022  ovolshftlem2  23029  ovolicc2  23041  ioombl1  23081  dyadmbl  23118  vitali  23132  mbfimaopnlem  23172  dvfval  23411  plyeq0lem  23714  taylfval  23861  ulmval  23882  dmarea  24428  dchrplusg  24716  iscgrg  25152  ishlg  25242  ishpg  25396  iscgra  25446  isinag  25474  axlowdimlem15  25581  axlowdim  25586  iseupa  26285  isgrpoi  26529  sspval  26755  0ofval  26819  ajfval  26841  hvmulex  27045  inftmrel  28858  isinftm  28859  smatrcl  28983  tpr2rico  29079  faeval  29429  mbfmco2  29447  br2base  29451  sxbrsigalem0  29453  sxbrsigalem3  29454  dya2iocrfn  29461  dya2iocct  29462  dya2iocnrect  29463  dya2iocuni  29465  dya2iocucvr  29466  sxbrsigalem2  29468  eulerpartlemgs2  29562  ccatmulgnn0dir  29738  afsval  29795  cvmlift2lem9  30340  mexval  30446  mdvval  30448  mpstval  30479  brimg  31007  brrestrict  31019  colinearex  31130  poimirlem4  32366  poimirlem28  32390  mblfinlem1  32399  heiborlem3  32565  rrnval  32579  ismrer1  32590  lcvfbr  33108  cmtfvalN  33298  cvrfval  33356  dvhvbase  35177  dvhfvadd  35181  dvhfvsca  35190  dibval  35232  dibfna  35244  dicval  35266  hdmap1fval  35887  mzpincl  36098  pellexlem3  36196  pellexlem4  36197  pellexlem5  36198  aomclem6  36430  trclexi  36729  rtrclexi  36730  brtrclfv2  36821  hoiprodcl2  39228  hoicvrrex  39229  ovn0lem  39238  ovnhoilem1  39274  ovnlecvr2  39283  opnvonmbllem1  39305  opnvonmbllem2  39306  ovolval2lem  39316  ovolval2  39317  ovolval3  39320  ovolval4lem2  39323  ovolval5lem2  39326  ovnovollem1  39329  ovnovollem2  39330  smflimlem6  39445  aacllem  42298
  Copyright terms: Public domain W3C validator