MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpncan 12632
Description: Extended real version of pncan 10880. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpncan ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem xpncan
StepHypRef Expression
1 rexneg 12592 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
21adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
32oveq2d 7161 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵))
4 renegcl 10937 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
6 rexr 10675 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ*)
7 renepnf 10677 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ +∞)
8 xaddmnf2 12610 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (-𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
105, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (-∞ +𝑒 -𝐵) = -∞)
11 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (-∞ +𝑒 𝐵))
12 rexr 10675 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 renepnf 10677 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
14 xaddmnf2 12610 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (-∞ +𝑒 𝐵) = -∞)
1711, 16sylan9eqr 2875 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = -∞)
1817oveq1d 7160 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (-∞ +𝑒 -𝐵))
19 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
2010, 18, 193eqtr4d 2863 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
21 simpll 763 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
2312ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 renemnf 10678 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
2524ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
264ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ)
2726, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ∈ ℝ*)
28 renemnf 10678 . . . . . 6 (-𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ≠ -∞)
2926, 28syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → -𝐵 ≠ -∞)
30 xaddass 12630 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝐵 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
3121, 22, 23, 25, 27, 29, 30syl222anc 1378 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)))
32 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 26rexaddd 12615 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = (𝐵 + -𝐵))
3432recnd 10657 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534negidd 10975 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
3633, 35eqtrd 2853 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 -𝐵) = 0)
3736oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = (𝐴 +𝑒 0))
38 xaddid1 12622 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3938ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4037, 39eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝐵)) = 𝐴)
4131, 40eqtrd 2853 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
4220, 41pm2.61dane 3101 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝐵) = 𝐴)
433, 42eqtrd 2853 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 -𝑒𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662  -cneg 10859  -𝑒cxne 12492   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861  df-xneg 12495  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  xnpcan  12633  xleadd1  12636  xaddeq0  30403
  Copyright terms: Public domain W3C validator