MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpnz 5541
Description: The Cartesian product of nonempty classes is nonempty. (Variation of a theorem contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Contributed by NM, 30-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpnz ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem xpnz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3923 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 n0 3923 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
31, 2anbi12i 732 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦𝐵))
4 eeanv 2180 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥𝐴𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦𝐵))
53, 4bitr4i 267 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥𝑦(𝑥𝐴𝑦𝐵))
6 opex 4923 . . . . . 6 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
7 eleq1 2687 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
8 opelxp 5136 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐵))
97, 8syl6bb 276 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐵)))
106, 9spcev 3295 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
11 n0 3923 . . . . 5 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
1210, 11sylibr 224 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
1312exlimivv 1858 . . 3 (∃𝑥𝑦(𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
145, 13sylbi 207 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
15 xpeq1 5118 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
16 0xp 5189 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
1715, 16syl6eq 2670 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
1817necon3i 2823 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
19 xpeq2 5119 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
20 xp0 5540 . . . . 5 (𝐴 × ∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2670 . . . 4 (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
2221necon3i 2823 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
2318, 22jca 554 . 2 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2414, 23impbii 199 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  c0 3907  cop 4174   × cxp 5102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-br 4645  df-opab 4704  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112
This theorem is referenced by:  xpeq0  5542  ssxpb  5556  xp11  5557  unixpid  5658  xpexr2  7092  frxp  7272  xpfir  8167  axcc2lem  9243  axdc4lem  9262  mamufacex  20176  txindis  21418  bj-xpnzex  32921  bj-1upln0  32972  bj-2upln1upl  32987  dibn0  36261
  Copyright terms: Public domain W3C validator