Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xpprsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpprsng 42435
Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpprsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng
StepHypRef Expression
1 df-pr 4213 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21xpeq1i 5169 . 2 ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3 xpsng 6446 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
433adant2 1100 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 xpsng 6446 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
653adant1 1099 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
74, 6uneq12d 3801 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8 xpundir 5206 . . 3 (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9 df-pr 4213 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
107, 8, 93eqtr4g 2710 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
112, 10syl5eq 2697 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   × cxp 5141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933
This theorem is referenced by:  zlmodzxz0  42459
  Copyright terms: Public domain W3C validator