Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xpprsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpprsng 42008
Description: The Cartesian product of an unordered pair and a singleton. (Contributed by AV, 20-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
xpprsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})

Proof of Theorem xpprsng
StepHypRef Expression
1 df-pr 4031 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21xpeq1i 4953 . 2 ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶})
3 xpsng 6196 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
433adant2 1072 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5 xpsng 6196 . . . . 5 ((𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
653adant1 1071 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐵, 𝐶⟩})
74, 6uneq12d 3634 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶})) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩}))
8 xpundir 4989 . . 3 (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = (({𝐴} × {𝐶}) ∪ ({𝐵} × {𝐶}))
9 df-pr 4031 . . 3 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐶⟩})
107, 8, 93eqtr4g 2573 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
112, 10syl5eq 2560 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑈) → ({𝐴, 𝐵} × {𝐶}) = {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐶⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cun 3442  {csn 4028  {cpr 4030  cop 4034   × cxp 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pr 4732
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696
This theorem is referenced by:  zlmodzxz0  42032
  Copyright terms: Public domain W3C validator