MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc 16138
Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 4869 . . . 4 {𝐴} ∈ V
2 snex 4869 . . . 4 {𝐵} ∈ V
3 cdaval 8936 . . . 4 (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})))
41, 2, 3mp2an 707 . . 3 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
54cnveqi 5257 . 2 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
6 cnvun 5497 . 2 (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
7 cnvxp 5510 . . 3 ({𝐴} × {∅}) = ({∅} × {𝐴})
8 cnvxp 5510 . . 3 ({𝐵} × {1𝑜}) = ({1𝑜} × {𝐵})
97, 8uneq12i 3743 . 2 (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
105, 6, 93eqtri 2647 1 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  c0 3891  {csn 4148   × cxp 5072  ccnv 5073  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498   +𝑐 ccda 8933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-cda 8934
This theorem is referenced by:  xpscg  16139  xpsc0  16141  xpsc1  16142  xpsfrnel2  16146
  Copyright terms: Public domain W3C validator