Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc0 16144
 Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 16141 . . . 4 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
21fveq1i 6151 . . 3 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅)
3 fnconstg 6052 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
5 fvi 6214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘𝑥) = 𝑥
7 elsni 4167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
87fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
96, 8syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
10 velsn 4166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
119, 10sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
1211ssriv 3588 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
13 xpss2 5192 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)})
15 1on 7515 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ On
1615elexi 3199 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ V
17 fvex 6160 . . . . . . . . 9 ( I ‘𝐵) ∈ V
1816, 17xpsn 6364 . . . . . . . 8 ({1𝑜} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
1914, 18sseqtri 3618 . . . . . . 7 ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
2016, 17funsn 5899 . . . . . . 7 Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩}
21 funss 5868 . . . . . . 7 (({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1𝑜, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1𝑜} × {𝐵})))
2219, 20, 21mp2 9 . . . . . 6 Fun ({1𝑜} × {𝐵})
23 funfn 5879 . . . . . 6 (Fun ({1𝑜} × {𝐵}) ↔ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
2422, 23mpbi 220 . . . . 5 ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵})
2524a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}))
26 dmxpss 5526 . . . . . . 7 dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜}
27 sslin 3819 . . . . . . 7 (dom ({1𝑜} × {𝐵}) ⊆ {1𝑜} → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜})
29 1n0 7523 . . . . . . . 8 1𝑜 ≠ ∅
3029necomi 2844 . . . . . . 7 ∅ ≠ 1𝑜
31 disjsn2 4219 . . . . . . 7 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅
33 sseq0 3949 . . . . . 6 ((({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1𝑜}) ∧ ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
3428, 32, 33mp2an 707 . . . . 5 ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅
3534a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅)
36 0ex 4752 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3736snid 4181 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
3837a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ {∅})
39 fvun1 6228 . . . 4 ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) Fn dom ({1𝑜} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1𝑜} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
403, 25, 35, 38, 39syl112anc 1327 . . 3 (𝐴𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
412, 40syl5eq 2667 . 2 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
42 xpsng 6363 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4342fveq1d 6152 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
44 fvsng 6404 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
4543, 44eqtrd 2655 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
4636, 45mpan 705 . 2 (𝐴𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
4741, 46eqtrd 2655 1 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ∪ cun 3554   ∩ cin 3555   ⊆ wss 3556  ∅c0 3893  {csn 4150  ⟨cop 4156   I cid 4986   × cxp 5074  ◡ccnv 5075  dom cdm 5076  Oncon0 5684  Fun wfun 5843   Fn wfn 5844  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  1𝑜c1o 7501   +𝑐 ccda 8936 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1o 7508  df-cda 8937 This theorem is referenced by:  xpscfv  16146  xpsfeq  16148  xpsfrnel2  16149  xpsff1o  16152  xpsle  16165  dmdprdpr  18372  dprdpr  18373  xpstopnlem1  21525  xpstopnlem2  21527  xpsxmetlem  22097  xpsdsval  22099  xpsmet  22100
 Copyright terms: Public domain W3C validator